Câu 7 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh \[\widehat {BAM}\]và\[\widehat {CAM}\].
Giải
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét AMB và DMC:
MA = MD [theo cách vẽ]
\[\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\][đối đỉnh]
MB = MC [gt]
Do đó: AMB = DMC [c.g.c]
Nên: AM = CD [2 cạnh tương ứng]
\[\widehat D = \widehat {{A_1}}\][2 góc tương ứng] [1]
AB < AC [gt]
Suy ra: CD < AC
Trong ADC ta có: CD < AC
Nên \[\widehat D = \widehat {{A_2}}\][đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\]hay \[\widehat {BAM} > \widehat {MAC}\]
Câu 8 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.
Giải
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB
AB < AC nên AE < AC => E nằm giữa A và C
Xét ABD và AED:
AB = AE [theo cách vẽ]
\[\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\left[ {gt} \right]\]
AD cạnh chung
Do đó: ABD = AED [c.g.c]
=> BD = DE [2 cạnh tương ứng]
\[\Rightarrow \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\][2 góc tương ứng]
\[\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \][2 góc kề bù]
\[\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \][2 góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\]
Trong ABC ta có \[\widehat {{B_1}}\]là góc ngoài tại đỉnh B.
\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\][tính chất góc ngoài tam giác]
Suy ra: \[\widehat {{E_1}} > \widehat C\]
Trong DEC ta có:\[\widehat {{E_1}} > \widehat C\]
\[ \Rightarrow \]DC > DE [đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn]
Suy ra: BD < DC.
Câu 9 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Giải
Xét ABC có \[\widehat A = 90^\circ ;\widehat B = 30^\circ \]
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC
Suy ra: ACD cân tại C
Mà \[\widehat C + \widehat B = 90^\circ \][tính chất tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Suy ra: ACD đều
\[ \Rightarrow \]AC = AD = DC và \[\widehat {{A_1}} = 60^\circ \]
\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Trong ADB ta có: \[\widehat {{A_2}} = \widehat B = 30^\circ \]
Suy ra: ADB cân tại D [vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau]
\[ \Rightarrow \]AD = DB
Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC
Vậy \[AC = {1 \over 2}BC\]
Câu 10 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng định lý Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn theo gợi ý sau:
Cho tam giác ABC có \[\widehat B > \widehat C\]
a] Có thể xảy ra AC < AB hay không ?
b] Có thể xảy ra AC = AB hay không ?
Giải
a] Nếu AB > AC thì \[\widehat C > \widehat B\][góc đối diện với cạnhlớn hơn là góc lớn hơn]
Điều này trái với giả thiết\[\widehat B > \widehat C\]
b] Nếu AB = AC thì ABC cân tại A.
\[\Rightarrow \widehat B = \widehat C\][tính chất tam giác cân]
Điều này trái với giả thiết\[\widehat B > \widehat C\]
Vậy: \[\widehat B > \widehat C\]thì AC > AB