Câu 73 trang 113 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho đường tròn đường kính AB. Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại B và A.
a] Chứng minh rằng \[{\rm{AA}}'.BB' = A{B^2}\]
b] Chứng minh rằng \[A'{A^2} = A'M.A'B\].
Giải
a] Xét AA'B và BB'A:
\[\widehat {A'AB} = \widehat {B'BA} = {90^0}\]
\[\widehat {BB'A} = \widehat {ABA'}\] [vì cùng phụ với \[\widehat {BAB'}\]]
Suy ra: AA'B đồng dạng BAB' [g.g]
\[{{AA'} \over {BA}} = {{AB} \over {BB}} \Rightarrow AA'.BB' = A{B^2}\]
b] \[\widehat {AMB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow AM \bot A'B\]
AA'B vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\[AA{'^2} = A'M.A'B\]
Câu 74 trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng đường chéo BF chia AD thành hai đoạn thẳng theo tỉ số 1: 3.
Giải
Lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn [O]
\[\overparen{AB}\] = \[\overparen{CB}\] = \[\overparen{CD}\] = \[\overparen{DE}\] = \[\overparen{EF}\] = \[\overparen{FA}\] = 600
\[ \Rightarrow \] sđ \[\overparen{ABCD}\] = sđ \[\overparen{AB}\] + sđ \[\overparen{BC}\] + sđ \[\overparen{CD}\] = 1800
Nên AD là đường kính của đường tròn [O]
Ta có: OA = OB = OF = AB = AF = R
Nên tứ giác ABOF là hình thoi
Gọi giao điểm của AD và BF là H
Ta có: \[FB \bot OA\][tính chất hình thoi]
\[ \Rightarrow AH = HO = {{AO} \over 2} = {R \over 2}\]
\[HD = HO + OD = {R \over 2} + R = {{3R} \over 2}\]
Suy ra: \[{{AH} \over {HD}} = {{{R \over 2}} \over {{{3R} \over 2}}} = {1 \over 3}\]
Câu 75 trang 114 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho \[\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA}\]
Giải
Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho \[\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA}\]
Vì \[\widehat {AMB} + \widehat {BMC} + \widehat {CMA} = {360^0}\]
Thì điểm M nhìn các cạnh AB, BC, AC của ABC dưới 1 góc bằng 1200suy ra cách dựng:
- Dựng cung chứa góc 1200 vẽ trên đoạn BC.
- Dựng cung chứa góc 1200vẽ trên đoạn AC
Giao điểm thứ hai của cung này là điểm M phải dựng