Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải phương trình:
\[\eqalign{
& a]\,{4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}; \cr
& c]\,3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \]
\[\eqalign{
& b]\,{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr
& d]\,\log _{{1 \over 2}}^2\left[ {4x} \right] + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \]
Giải
a] Điều kiện: \[x \ne 0\]
Chia hai vế phương trình cho \[{4^{ - {1 \over x}}}\]ta được: \[1 + {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - {1 \over x}}} = {\left[ {{9 \over 4}} \right]^{ - {1 \over x}}}\]
Đặt \[t = {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - {1 \over x}}}\,\,\left[ {t > 0} \right]\]ta có phương trình:
\[{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left[\text{loại} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\cr& \Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{\left[ {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right]^{ - 1}} = {\log _{{3 \over 2}}}\left[ {{{\sqrt 5 - 1} \over 2}} \right] \cr
& \Leftrightarrow x = {\log _{{{\sqrt 5 - 1} \over 2}}}{3 \over 2} \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {{{\log }_{{{\sqrt 5 - 1} \over 2}}}{3 \over 2}} \right\}\]
b] Điều kiện: \[x > 0\]
\[{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0\]
\[\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\]
Chia hai vế của phương trình cho \[{4^{\ln x}}\], ta được:
\[4 - {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{\ln x}} - 18{\left[ {{9 \over 4}} \right]^{\ln x}} = 0\]
Đặt \[t = {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{\ln x}}\,\,\left[ {t > 0} \right]\]
Ta có:
\[18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\left[ \text{loại} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{\ln x}} = {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - 2}} \Leftrightarrow \ln x = - 2 \]
\[\Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\]
Vậy \[S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\]
c] Điều kiện: \[{\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\]
Đặt \[t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left[ {t \ge 0} \right] \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\]
\[\eqalign{
& 3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - 3-{\log _2}x + 1 = 0 \cr} \]
Ta có phương trình: \[3t - 2 - {t^2} = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2;16} \right\}\]
d] Điều kiện: \[x > 0\]. Với điều kiện ta có:
\[\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left[ {4x} \right] = {\left[ {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right]^2} = \left[ { - 2 - {{\log }_2}x} \right]^2 \cr&= {\left[ {2 + {{\log }_2}x} \right]^2} \cr
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 = 2{\log _2}x - 3 \cr} \]
Ta có phương trình: \[{\left[ {{{\log }_2}x + 2} \right]^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\]
Đặt \[t = {\log _2}x\] ta được: \[{\left[ {t + 2} \right]^2} + 2t - 11 = 0\]
\[\eqalign{
& {t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\]
Bài 77 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải phương trình:
\[a]\,{2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\,;\]
\[b]\,{4^{3 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{{1 \over 2}}}\]
Giải
a] Ta có: \[\,{2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\, \Leftrightarrow {2^{1 - {{\cos }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\]
Đặt \[t = {2^{{{\cos }^2}x}}\,\left[ {1 \le t \le 2} \right]\]
Ta có:
\[{2 \over t} + 4t = 6 \Leftrightarrow 4{t^2} - 6t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = {1 \over 2}\,\,\left[ \text{loại} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi ,\,k \in \mathbb Z\]
b] Đặt \[t = {4^{t + \cos 2x}}\,\left[ {t > 0} \right]\]
Ta có: \[{4.4^{2\left[ {1 + \cos 2x} \right]}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 4{t^2} - 7t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill \cr
t = - {1 \over 4}\,\left[ \text {loại} \right] \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {2^{2 + 2\cos 2x}} = 2 \Leftrightarrow 2 + 2\cos 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = - {1 \over 2} = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {2\pi \over 3} + k\pi ,\,k \in \mathbb Z \cr} \]
Bài 78 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải phương trình
\[a]\,\left[ {{1 \over 3}} \right] ^x= x + 4\,;\]
\[b]\,{\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} + {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x} = 1.\]
Giải
a] Rõ ràng \[x=-1\] là nghiệm của phương trình
Với \[x 3 > x + 4\] phương trình không có nghiệm \[x-1\] ta có \[{\left[ {{1 \over 3}} \right]^x} < {\left[ {{1 \over 3}} \right]^{ - 1}} = 3 < x + 4\]phương trình không có nghiệm \[x>-1\]
Vậy \[S = \left\{ { - 1} \right\}\]
b]Rõ ràng \[x=2\] là nghiệm của phương trình
Do \[ 0 < \sin {\pi \over 5} < 1\] và \[0 < \cos {\pi \over 5} < 1\] nên:
Nếu \[x>2\] thì \[{\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} < {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^2}\] và \[{\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x} < {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^2}\]
\[ \Rightarrow {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} + {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^2} < 1\]
- Nếu \[x < 2\] thì \[{\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} > {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^2}\] và \[{\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^x} > {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^2}\]
\[\Rightarrow {\left[ {\sin {\pi \over 5}} \right]^x} + {\left[ {\cos {\pi \over 5}} \right]^2} > 1\]
Vậy \[S = \left\{ 2 \right\}\]
Bài 79 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải hệ phương trình :
\[a]\,\left\{ \matrix{
{3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 \hfill \cr
{2^x} - {3^y} = - 0,75\,; \hfill \cr} \right.\]
\[b]\,\,\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 \left[1+ {3{{\log }_5}x} \right] \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Đặt \[u = {2^x},\,v = {3^y}\,\left[ {u > 0,\,v > 0} \right]\]
Ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
3u + 2v = 2,75 \hfill \cr
u - v = - 0,75 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = {1 \over 4} \hfill \cr
v = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{2^x} = {1 \over 4} \hfill \cr
{3^y} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left\{ {\left[ { - 2;0} \right]} \right\}\]
b] Điều kiện: \[x > 0\] và \[y > 0\]. Khi đó \[{\log _5}y = {\log _5}7.{\log _7}y\] và \[{\log _2}5.{\log _5}x = {\log _2}x\]nên ta có thể biến đổi tương đương hệ đã cho thành:
\[\eqalign{
& \,\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}x \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _5}xy = {\log _5}10 \hfill \cr
{\log _2}8y = {\log _2}5{x^3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
xy = 10\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr
8y = 5{x^3}\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Thay \[y = {{5{x^3}} \over 8}\]vào [1] ta được: \[{{5{x^4}} \over 8} = 10 \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\][vì \[x > 0\]]
Với \[x = 2\] ta có \[y = {{10} \over x} = 5\].
Vậy \[S = \left\{ {\left[ {2;5} \right]} \right\}\]