Bài 1 trang 68 - SGK Hình học 12
Cho ba vectơ\[\overrightarrow{a}\][2; -5; 3],\[\overrightarrow{b}\][0; 2; -1],\[\overrightarrow{c}\][1; 7; 2].
a] Tính tọa độ của vectơ\[\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\].
b] Tính tọa độ của vectơ\[\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\].
Giải:
a] \[4\overrightarrow{a}=[ 8; -20; 12]\]; \[\frac{1}{3}\overrightarrow{b}= [0;\frac{2}{3}; \frac{-1}{3}]\]; \[2\overrightarrow{c} = [ 3; 21; 6]\].
Vậy\[\overrightarrow{d}=[11; \frac{1}{3};\frac{55}{3}]\].
b] Tương tự\[\overrightarrow{e}=[ 0; -27; 3]\].
Bài 2 trang 68 - SGK Hình học 12
Cho ba điểm \[A = [1; -1; 1], B = [0; 1; 2], C = [1; 0; 1]\].
Tìm tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\].
Giải:
\[G\] là trọng tâm của tam giác ABC thì\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\] [*]
Giả sử \[G[x; y; z]\] thì \[\overrightarrow{GA} = [1 - x; -1 - y; 1 - z]\];
\[\overrightarrow{GB} = [-x; 1 - y; 2 - z]\];
\[\overrightarrow{GC} = [1 - x; -y; 1 - z]\];
=>\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = [2 - 3x; -3y; 4 - 3z]\]
Do hệ thức [*], ta có :
\[2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\];
\[-3y = 0 \Rightarrow y = 0\];
\[ 4 - 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}\].
Vậy\[G[\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}]\].
Nhận xét: Trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[3\] đỉnh của tam giác.
Bài 3 trang 68 - SGK Hình học 12
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] biết \[A = [1; 0; 1], B = [2; 1; 2], D = [1; -1; 1]\],
\[C' [4; 5; -5]\]. Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Giải:
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left[ {1;1;1} \right] \cr
& \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left[ {0; - 1;0} \right] \cr
& \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_C} - 2 = 0 \hfill \cr
{y_C} - 1 = - 1 \hfill \cr
{z_C} - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_C} = 2 \hfill \cr
{y_C} = 0 \hfill \cr
{z_C} = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[C = [2; 0; 2]\]
Suy ra \[\overrightarrow {CC'} = \left[ {2;5; - 7} \right]\]
Từ \[\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow {CC} = \left[ {2;5; - 7} \right]\]
Suy ra \[\left\{ \matrix{
{x_A} - 1 = 2 \hfill \cr
{y_A} - 0 = 5 \hfill \cr
{z_A} - 1 = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_A} = 3 \hfill \cr
{y_A} = 5 \hfill \cr
{z_A} = - 6 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A [3; 5; -6]\]
Tương tự \[B = [4; 6; -5]; D = [3; 4; -6]\].