Bài 4 trang 58 sgk đại số và giải tích 11
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \[{\left[ {{x^3} + {1 \over x}} \right]^8}\]
Bài giải:
Ta có: \[{\left[ {{x^3} +4 {1 \over x}} \right]^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.[8 - k]}}{\left[ {{1 \over x}} \right]^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\]
Trong tổng\[\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\]số hạng không chứa \[x\] khi và chỉ khi
\[\left\{\begin{matrix} 24 - 4k = 0 & & \\ 0\leq k \leq 8& & \end{matrix}\right.\] \[ k = 6\].
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển [theo công thức nhị thức Niu - Tơn] của biểu thức đã cho là \[{C^6}_8 = {\rm{ }}28\].
Bài 5 trang 58 sgk đại số và giải tích 11
Từ khai triển biểu thức \[[3x 4]^{17}\]thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:
Bài giải:
Tổng các hệ số của đa thức \[f[x] = [3x 4]^{17}\]bằng:
\[f[1] = [3 4]^{17}= [ 1]^{17}= -1\].
Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng:
a] \[11^{10} 1\] chia hết cho \[100\];
b] \[101^{100} 1\] chia hết cho \[10 000\];
c] \[\sqrt{10}[{[1 + 10]}^{100} {[1- \sqrt{10}]}^{100}]\] là một số nguyên.
Bài giải:
a] \[{11^{10}} - 1 = {\left[ {1 + 10} \right]^{10}} - 1 = [1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\]
\[+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}] - 1\]
\[= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} + \ldots + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\]
Tổng sau cùng chia hết cho \[100\] suy ra\[11^{10} 1\] chia hết cho \[100\].
b] Ta có
\[{101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right]^{100}} - {\rm{ }}1\]
\[= [1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \]
\[C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}] - 1\]
\[= {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\]
Tổng sau cùng chia hết cho \[10 000\] suy ra\[101^{100} 1\] chia hết cho \[10 000\].
c] \[{[1 + \sqrt {10} ]^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left[ {\sqrt {10} } \right]^2} - ... \]
\[- C_{100}^{99}{\left[ {\sqrt {10} } \right]^{99}} + {\left[ {\sqrt {10} } \right]^{100}}\]
\[= 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left[ {\sqrt {10} } \right]^2} - ... - C_{100}^{99}{\left[ {\sqrt {10} } \right]^{99}}\]
\[+ {\left[ {\sqrt {10} } \right]^{100}}\]
\[\sqrt {10} \left[ {{{\left[ {1 + \sqrt {10} } \right]}^{100}} - {{\left[ {1 - \sqrt {10} } \right]}^{100}}} \right]\]=
\[2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left[ {\sqrt {10} } \right]}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left[ {\sqrt {10} } \right]}^{99}}} \right]\]
\[= 2\left[ {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right]\]
Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \[\sqrt{10}[{[1 + 10]}^{100} {[1- \sqrt{10}]}^{100}]\]là một số nguyên.