Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?
A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Giải
Hình bình hành nội tiếp đường trong phải là hình chữ nhật.
Chọn [D].
Bài 2. Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì
[A] Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.
[B] Hình lập phương có thể tích lớn nhất.
[C] Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.
[D] Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.
Giải
Hình hộp nội tiếp một mặt cầu là hình hộp chữ nhật có đường chéo \[d = 2R\]. Gọi \[x, y, z\] là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\]
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:
\[4{R^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}} = 3\root 3 \of {{V^2}} \]
\[\Rightarrow {V^2} \le {\left[ {{{4{R^2}} \over 3}} \right]^3}\]
\[V\] đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[x = y = z\].
Chọn [B].
Bài 3. Một hình cầu có thể tích \[{4 \over 3}\pi \]ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?
[A] \[{{8\sqrt 3 } \over 9}\] [B] \[{8 \over 3}\] [C] 1 [D] \[2\sqrt 3 \]
Giải
Giả sử bán kính mặt cầu là \[R\] và cạnh hình lập phương là a thì thể tích khối cầu là \[V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R = 1\] và \[4{R^2} = 3{a^2} = 4 \Rightarrow a = {2 \over {\sqrt 3 }}\]
Thể tích khối lập phương là \[V = {a^3} = {\left[ {{2 \over {\sqrt 3 }}} \right]^3} = {8 \over {3\sqrt 3 }} = {{8\sqrt 3 } \over 9}\].
Chọn [A].
Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A] Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
[B] Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
[C] Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
[D] Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Giải
Hình chóp có đáy là tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp thì đáy phải là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Chọn [D].
Bài 5. Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\]
[A] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \[ABC\] và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 2}\].
[B] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\].
[C] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 2}\].
[D] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \[ABC\] và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\].
Giải
Gọi \[G\] là trọng tâm tứ diện \[ABCD, AA\] là đường cao xuất phát từ \[A\] của tứ diện \[ABCD\]. Ta có:
\[\eqalign{
& AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr
& \Rightarrow GA = GB = GC = GD = {3 \over 4}AA' = {{a\sqrt 6 } \over 4} \cr} \]
Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} \cr&+ {\left[ {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} = 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 4G{A^2} + 4G{M^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} \left[ {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right] = 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow M{G^2} = {{{a^2}} \over 2} - G{A^2} = {{{a^2}} \over 8} \Rightarrow MG = {{a\sqrt 2 } \over 4} \cr} \]
Tập hợp các điểm \[M\] là mặt cầu tâm \[G\] bán kính \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\] . Chọn [B].
Bài 6. Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \[ABCD\] cạnh bằng \[a\] là:
[A] \[{{a\sqrt 2 } \over 2}\] [B] \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\] [C] \[a\sqrt 2 \] [D] \[2a\sqrt 2 \]
Giải
Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm hai cạnh \[AB\] và \[CD\] của tứ diện đều \[ABCD\].
\[I\] là trung điểm của \[MN\] thì \[I\] cách đều \[6\] cạnh tứ diện nên \[I\] là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.
Bán kính mặt cầu: \[R = {{MN} \over 2}\]
Ta có: \[M{N^2} = A{N^2} - M{A^2} \]
\[= A{D^2} - N{D^2} - M{A^2} \]
\[= {a^2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \Rightarrow MN = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\].
Chọn [B].
Bài 7. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.
[B] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.
[C] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.
[D] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Giải
Chon D.
Bài 8. Cho hai điểm \[A, B\] phân biệt. Tập hợp các điểm \[M\] sao cho diện tích tam giác \[MAB\] không đổi là:
[A] Hai đường thẳng song song; [B] Một mặt cầu;
[C] Một mặt trụ; [D] Một mặt nón.
Giải
Tập hợp các điểm \[M\] sao cho khoảng cách từ \[M\] đến \[AB\] không đổi.
Chọn [C].
Bài 9. Cho hai điểm phân biệt \[A, B\] cố định và phân biệt. Một đường thẳng \[l\] thay đổi luôn đi qua \[A\]
và cách \[B\] một khoảng \[{{AB} \over 2}\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[B\] trên \[l\]. Tập hợp điểm \[H\] là:
[A] Một mặt phẳng; [B] Một mặt trụ;
[C] Một mặt nón; [D] Một đường tròn.
Giải
\[\sin \widehat {HAB} = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {HAB} = {30^0}\]
Tập hợp \[l\] là mặt nón có trục AB, đường sinh \[l\], góc ở đỉnh là \[{60^0}\]. Gọi \[I\] là hình chiếu của H lên AB.
Ta có: \[BI = BH.cos{60^0} = {{AB} \over 4} \Rightarrow I\] cố định.
\[ \Rightarrow H\] thuộc mặt phẳng qua \[I\] vuông góc với \[AB\]. Vậy tâp hợp \[H\] là đường tròn.
Chọn [D].
Bài 10. Với điểm \[O\] cố định thuộc mặt phẳng \[[P]\] cho trước, xét đường thẳng \[l\]thay đổi đi qua \[O\] và tạo với \[[P]\] góc \[30^0\]Tập hợp các đường thẳng \[l\]trong không gian là:
[A] Một mặt phẳng; [B] Hai đường thẳng;
[C] Một mặt trụ; [D] Một mặt nón.
Giải
Chọn D.
Bài 11. Một hình trụ có bán kính đáy bằng \[a\], đường cao \[{\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \]. Một đoạn thẳng \[AB\] thay đổi sao cho góc giữa \[AB\] và trục hình trụ bằng \[30^0\]. \[A, B\] thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm \[I\] của \[AB\] là:
[A] Một mặt trụ; [B] Một mặt cầu;
[C] Một đường tròn; [D] Một mặt phẳng.
Giải
Gọi \[A\] là hình chiếu của \[A\] xuống mặt phẳng đáy thì \[AA = OO\]. Gọi \[I, M, N\] lần lượt là trung điểm của \[OO, AB\] và \[AA\].
Ta có: \[IA = IB\] và \[IM \bot AB\].
Mp[IMN] qua \[I\] và song song với hai mặt phẳng đáy.
Ta có: \[MN = AN.\tan {30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 3 }} = {a \over 2}\]
\[ \Rightarrow MI = \sqrt {N{I^2} - M{N^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Vậy tập hợp trung điểm \[M\] của \[AB\] là đường tròn tâm \[I\] bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\] nằm trong mp\[[IMN]\].
Chọn [C].
Bài 12. Trong mặt phẳng [P] cho góc xOy. Một mặt phẳng [Q] thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong [Q] lấy điểm M sao cho \[\widehat {AMB} = {90^0}\]. Khi ấy, tập hợp điểm M là:
[A] Một đường tròn; [B] Một mặt trụ;
[C] Một mặt nón; [D] Một mặt cầu.
Giải
Tập hợp M là một mặt nón đỉnh O.
Chọn [C].
Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc ACA khi quay quanh AA bằng:
[A] \[\pi {a^2}\sqrt 6 \] [B] \[\pi {a^2}\sqrt 3 \]
[C] \[\pi {a^2}\sqrt 2 \] [D] \[\pi {a^2}\sqrt 5 \]
Giải
Hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc ACA khi quay quanh \[AA' \] có bán kính đáy \[A'C'=a\sqrt 2\] và độ dài đường sinh \[AC' = a\sqrt 3 \] nên diện tích xung quanh của hình nón là: \[{S_{xq}} = {1 \over 2}2\pi a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \pi {a^2}\sqrt 6 \]
Chọn [A].
Bài 14. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:
[A] Một mặt nón cố đinh; [B] Một mặt phẳng cố đinh;
[C] Một mặt trụ cố định; [D] Một đường tròn cố đinh.
Giải
Gọi I là trung điểm AB ta có \[OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Tập hợp I là đường tròn tâm O bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\]trong mặt phẳng đáy hình nón. Gọi O là trung điểm SO và M là trung điểm của SI thì \[MO' = {1 \over 2}OI = {{a\sqrt 3 } \over 4}\]
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 4}\] nằm trong mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng đáy.
Chọn [D].
Bài 15. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO. Cắt hình trụ đó bằng \[mp\left[ \alpha \right]\]vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước [h