Bài 1 trang 132 sgk toán 8 tập 2
Dựng hình thang ABCD [AB// CD], biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4 cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5 cm.
Hướng dẫn làm bài:
Dựng đoạn thẳng CD = 4cm.
-Dựng hai đường tròn [C; 5cm] và [D; 2cm] cắt nhau tại A.
-Dựng đường tròn [C; 2 cm] và đường tròn [A, 4cm] cắt nhau tại B.
Đường thẳng AB kéo dài cắt đường tròn [C, 2cm] tại điểm B [ngoài điểm B đã kể trên].
Các tứ giác ABCD và ABCD là những hình thang thỏa mãn đề bài.
Chứng minh: Vì B [A, 4cm] nên AB = 4cm.
ABC = DAC [AB = CD = 4 cm, AD = BC = 2cm, AC chung] do đó là cặp góc so le trong ta có: AB // CD.
Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = 2cm, CD = 4 cm, BC = 2 cm là hình thang thỏa mãn yêu cầu, ABCD cũng là hình thang thỏa mãn yêu cầu vì AB//CD, AD = 2cm, CD = 4 cm, CB = 2 cm].
Bài 2 trang 132 sgk toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD [AB // CD] có hai đường chéo cắt nhau ở O và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OD và BC. Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều.
Hướng dẫn làm bài:
Tam giác ABO đều nên tam giác CDO cũng đều, suy ra OD = OC.
AOD = BOC [c.g.c] =>AD = BC.
EF là đường trung bình của tam giác AOD nên:
[1] \[EF = {1 \over 2}AD = {1 \over 2}BC\] [1]
CF là đường trung tuyến của tam giác đều CDO nên CF DO, nghĩa là .Trong tam giác vuông CFB, FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
[2] \[FG = {1 \over 2}BC\]
Chứng minh tương tự ta cũng có:
[3] \[EG = {1 \over 2}BC\]
Từ [1], [2], [3] suy ra EF = GF = EG nên tam giác EFG là tam giác đều.
Bài 3 trang 132 sgk toán 8 tập 2
Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là:
a] Hình thoi?
b] Hình chữ nhật?
Hướng dẫn làm bài:
Ta có: CE AB[gt]
KB AB [gt]
Suy ra BK // CH [1]
Tương tự BH // KC [2]
Từ [1] và [2] ta được:
Tứ giác BHCK là hình bình hành. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK.
a] BHCK là hình thoi HM BC
Vì HA BC nên HM BC A, H, M thẳng hàng. Tam giác ABC cân tại A.
b] BHCK là hình chữ nhật BH HC. Ta lại có BE HC, CD BH nên BH HC H, D, E trùng nhau. Khi đó H, D, E cũng trùng với A. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông ở A.
Bài 4 trang 132 sgk toán 8 tập 2
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để tứ giác MENK là:
a] Hình thoi?
b] Hình chữ nhật?
c] Hình vuông?
Hướng dẫn làm bài:
Tứ giác MBND là hình bình hành.
[MB// = ND]
Lại có MN // BC [vì MBCN là hình bình hành].
EK // CD [vì EK là đường trung bình của CDM].
a] Để MENK là hình thoi thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là MN EK.
Suy ra BC CD.
Vậy ABCD phải là hình chữ nhật.
b] Để MENK là hình chữ nhật thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là MN = EK.
Mà MN = BC, EK = \[{1 \over 2}CD\] suy ra:
BC = \[{1 \over 2}\]CD.
c] Để MENK là hình vuông thì MENK phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật có:
BC = \[{1 \over 2}DC\]
Bài 5 trang 133 sgk toán 8 tập 2
Trong tam giác ABC các đường trung tuyến AA và BB cắt nhau ở G. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng diện tích tam giác ABG bằng S.
Hướng dẫn làm bài:
Ta có: AC = 2AB.
Nên SABC = 2SABB [1]
Và \[BB' = {3 \over 2}BG\]
Nên \[{S_{ABB'}} = {3 \over 2}{s_{ABG}}\][2]
Từ [1], [2] suy ra \[{S_{ABC}} = 2.{3 \over 2}{S_{ABG}} = 3S\]