Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ
\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\]và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
[A] \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \]; [B] \[\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \];
[C] \[\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \]; [D] \[\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \].
Giải
Chọn [D]\[\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \].
Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ
\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\]và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A] \[\overrightarrow a .\overrightarrow c = 1;\]
[B] \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cùng phương;
[C] cos [\[\overrightarrow b \], \[\overrightarrow c \]]= \[{2 \over {\sqrt 6 }}\];
[D] \[\overrightarrow a \]+ \[\overrightarrow b \]+ \[\overrightarrow c \]= \[\overrightarrow 0 \]
Giải
Chọn [C] cos [\[\overrightarrow b \], \[\overrightarrow c \]]= \[{2 \over {\sqrt 6 }}\]
Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ
\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\]và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\]
Cho hình bình hành \[OADB\] có \[\overrightarrow {OA} \]= \[\overrightarrow a \], \[\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \][\[O\] là gốc toạ độ]. Toạ độ của tâm hình bình hành \[OADB\] là:
[A] \[[0 ; 1 ; 0]\] [B] \[[1 ; 0 ; 0]\]
[C] \[[1 ; 0 ; 1]\] [D] \[[1 ; 1 ; 0]\].
Giải
Gọi tọa độ của \[D[x;y;z]\]
\[OADB\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow a + \overrightarrow b=[0;2;0] \]
Gọi \[I\] là tâm của hình bình hành nên \[\vec{OI}={1\over2}\vec{OD}=[0;1;0]\]
Vậy \[I[0;1;0]\]
Chọn [A] \[[0 ; 1 ; 0]\].
Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
[A] Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;
[B] Tam giác ABD là tam giác đều ;
[C] \[AB CD\] ;
[D] Tam giác \[BCD\] là tam giác vuông.
Giải
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = [ - 1;1;0] \cr
& \overrightarrow {CD} = [1;1;0] \cr
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \cr} \]
Chọn [D]Tam giác \[BCD\] là tam giác vuông.
Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]
Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\]. Toạ độ điểm \[G\] là trung điểm của \[MN\] là:
[A] G \[\left[ {{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}} \right]\]; [B] G \[\left[ {{1 \over 4};{1 \over 4};{1 \over 4}} \right]\];
[C] G \[\left[ {{2 \over 3};{2 \over 3};{2 \over 3}} \right]\]; [D] G \[\left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\].
Giải
Chọn [D]G \[\left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\].
Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] có bán kính là:
[A] \[{{\sqrt 3 } \over 2}\]; [B] \[\sqrt2\] ;
[C] \[\sqrt3\]; [D] \[{3 \over 4}\].
Giải
Phương trình tổng quát của mặt cầu là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]
Mặt cầu đi qua \[A,B,C,D\] nên ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
1 - 2a + d = 0[1] \hfill \cr
1 - 2b + d = 0[2] \hfill \cr
1 - 2c + d = 0[3] \hfill \cr
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0[4] \hfill \cr} \right.\]
Lấy [1]+[2]+[3]-[4] ta được: \[\Rightarrow d = 0\]
Từ đây ta được: \[a = {1 \over 2},b = {1 \over 2},c = {1 \over 2}\]
\[{R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = {{\sqrt 3 } \over 2}\]
Chọn [A]\[{{\sqrt 3 } \over 2}\].
Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12
Cho mặt phẳng \[[α]\] đi qua điểm \[M[0 ; 0 ; -1]\] và song song với giá của hai vectơ \[\overrightarrow a = \left[ {1; - 2;3} \right]\]và \[\overrightarrow b = [3 ; 0 ; 5]\].
Phương trình của mặt phẳng \[[α]\] là:
[A] \[5x - 2y - 3z - 21 = 0\];
[B] \[- 5x + 2y + 3z + 3 = 0\];
[C] \[10x - 4y - 6z + 21 = 0\];
[D] \[5x - 2y - 3z + 21 = 0\].
Giải
Gọi \[\vec n\] là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[\alpha]\] thì
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = [ - 10;4;6]\].
Phương trình của mặt phẳng \[[\alpha]\] là:
\[- 10[x - 0] + 4[y - 0] + 6[z + 1] = 0\]
\[\Leftrightarrow 10x + 4y + 6z + 6 = 0 \]
\[\Leftrightarrow - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\]
Chọn [B]\[- 5x + 2y + 3z + 3 = 0\].
Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12
Cho ba điểm \[A [0 ; 2 ; 1], B[3; 0 ;1], C[1 ; 0 ; 0]\]. Phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] là:
[A] \[2x - 3y - 4z +2 = 0\]
[B] \[2x + 3y - 4z - 2 = 0\]
[C] \[4x + 6y - 8z + 2 = 0\]
[D] \[2x - 3y - 4z + 1 = 0\].
Giải
\[\overrightarrow {AB} = [3; - 2;0],\overrightarrow {AC} = [1; - 2; - 1]\]
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[ABC]\] là:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = [2; - 3; - 4]\]
Phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] là:
\[2[x - 0] + 3[y - 2] - 4[z - 1] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 2x + 3y - 4z - 2 = 0\]
Chọn [B] \[2x + 3y - 4z - 2 = 0\].
Bài 9 trang 95 SGK Hình học 12
Gọi \[[α]\] là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại \[3\] điểm \[M[8 ; 0 ; 0], N[0 ; -2 ; 0], P[0 ; 0 ; 4]\]. Phương trình của \[[α]\] là:
[A] \[{x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 0\];
[B] \[{x \over 4} + {y \over { - 1}} + {z \over 2} = 1\];
[C] \[x - 4y + 2z = 0\];
[D] \[x - 4y + 2z - 8 = 0\].
Giải
Phương trình mặt phẳng \[[\alpha]\] dưới dạng đoạn chắn là:
\[{x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow x - 4y + 2z - 8 = 0\]
Chọn [D]\[x - 4y + 2z - 8 = 0\].
Bài 10 trang 95 SGK Hình học 12
Cho ba mặt phẳng \[[α]\] \[x + y + 2z + 1 = 0\];
\[[β]\] \[x + y - z + 2 = 0\];
\[[γ]\] \[x - y + 5 = 0\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
[A] \[[α] [β]\] ; [B] \[[γ] [β]\];
\[[C] [α]// [γ]\] ; [D] \[[α] [γ]\].
Giải
Chọn [C] \[[α] //[γ]\].
Bài 11 trang 96 SGK Hình học 12
Cho đường thẳng \[\] đi qua điểm \[M[2 ; 0 ; -1]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [4 ; -6 ; 2]\]. Phương trình tham số của đường thẳng \[\] là:
\[[A]\left\{ \matrix{
x = - 2 + 4t \hfill \cr
y = - 6t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\]
\[[B]\left\{ \matrix{
x = - 2 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = 1 + t \hfill \cr} \right.\];
\[[C]\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - 1 + t \hfill \cr} \right.\];
\[[D]\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = - 6 - 3t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\].
Giải
Chọn [C]\[\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - 1 + t \hfill \cr} \right.\]
Bài 12 trang 96 SGK Hình học 12
Cho \[d\] là đường thẳng đi qua điểm \[A[1 ; 2 ; 3]\] và vuông góc với mặt phẳng \[[α]: 4x + 3y - 7z + 1 = 0\].
Phương trình tham số của d là:
[A]\[\left\{ \matrix{
x = - 1 + 4t \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = - 3 - 7t \hfill \cr} \right.\];
[B]\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 4t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\];
[C]\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 3t \hfill \cr
y = 2 - 4t \hfill \cr
z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\];
[D]\[\left\{ \matrix{
x = - 1 + 8t \hfill \cr
y = - 2 + 6t \hfill \cr
z = - 3 - 14t. \hfill \cr} \right.\]
Giải
Đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[\alpha\] nên có véc tơ chỉ phương là:
\[\vec u=[4;3;-7]\]
Phương trình tham số của \[d\] là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 4t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\]
Chọn[B]
Bài 13 trang 96 SGK Hình học 12
Cho hai đường thẳng
d1:\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 + 4t \hfill \cr} \right.\]
và
d2:\[\left\{ \matrix{
x = 3 + 4k \hfill \cr
y = 5 + 6k \hfill \cr
z = 7 + 8k. \hfill \cr} \right.\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A] d1 d2 [B] d1 // d2
[C] d1d2 [D] d1 và d2 chéo nhau.
Giải
Chọn [C]d1d2
Bài 14 trang 97 SGK Hình học 12
Cho mặt phẳng \[[α] : 2x + y + 3z + 1= 0\] và đường thẳng \[d\] có phương trình tham số :
\[\left\{ \matrix{
x = - 3 + t \hfill \cr
y = 2 - 2t \hfill \cr
z = 1. \hfill \cr} \right.\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A] \[d [α]\] ;
[B] \[d\] cắt \[ [α]\] ;
[C] \[d // [α]\] ;
[D] \[d [α]\].
Giải
Mặt phẳng \[[\alpha]\] có véc tơ pháp tuyến \[\vec n=[2;1;3]\]
Đường thẳng \[d\] có véc tơ chỉ phương \[\vec u=[1;-2;0]\]
\[\vec n.\vec u=0\]
Chọn \[M[-3;2;1]\in d\] thay tọa độ của \[M\] vào phương trình mặt phẳng \[[\alpha]\] ta được:ư
\[2.[-3]+2+3.1+1=0\] do đó \[M\in [\alpha]\]
Hay \[d [α]\]
Chọn [D]
Bài 15 trang 97 SGK Hình học 12
Cho \[[S]\] là mặt cầu tâm \[I[2 ; 1 ; -1]\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[[α]\] có phương trình : \[2x - 2y - z + 3 = 0\].
Bán kính của \[[S]\] là:
[A] \[2\] ; [B] \[{2 \over 3}\]; [C] \[{4 \over 3}\]; [D] \[{2 \over 9}\].
Giải
Bán kính của mặt cầu \[[S]\] là:
\[r = d[I;[\alpha ]] = {{\left| {2.2 - 2.1 - [ - 1] + 3} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{[ - 2]}^2} + {{[ - 1]}^2}} }} = {6 \over 3} = 2\]
Chọn [A] 2.