Câu 31 trang 161 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O], các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:
a] OC là tia phân giác của góc AOB.
b] OC vuông góc với AB.
Giải:
a] Kẻ OH AM, OK BN
Ta có: AM = BN [gt]
Suy ra: OH = OK [hai dây bằng nhau cách đều tâm]
Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:
\[\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \]
OC chung
OH = OK [chứng minh trên]
Suy ra: OCH = OCK [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
\[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\]
Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có:
\[\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \]
OA = OB
OH = OK [ chứng minh trên]
Suy ra: OAH = OBK [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
\[\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\]
Suy ra: \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\] hay \[\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\]
Vậy OC là tia phân giác của \[\widehat {AOB}\]
b] Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao [ tính chất tam giác cân].
Suy ra: OC AB.
Câu 32* trang 161 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm.
a] Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M.
b] Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.
Giải:
a] Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM.
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có:
\[O{A^2} = A{M^2} + O{M^2}\]
Suy ra: \[A{M^2} = O{A^2} - O{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16\]
AM = 4 [dm]
Ta có: OM AB
Suy ra: AM = \[{1 \over 2}AB\]
Hay: AB = 2AM = 2.4 = 8 [dm]
b] Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn [O]. Vậy dây có độ dài bằng 2R = 2.5 = 10 [dm]
Câu 33* trang 161 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O], hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB >CD, chứng minh rằng MH > MK.
Giải:
Ta có: HA = HB [gt]
Suy ra: OH AB [đường kính dây cung]
Lại có: KC = KD [gt]
Suy ra: OK CD [ đường kính dây cung]
Mà AB > CD [gt]
Nên OK > OH [ dây lớn hơn gần tâm hơn]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có:
\[O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\]
Suy ra: \[H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}\] [1]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có:
\[O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\]
Suy ra: \[K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}\] [2]
Mà OH < OK [cmt] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[H{M^2} > K{M^2}\] hay HM > KM.