Câu 1. [5 điểm ]
Trong mặt phẳng Oxycho đường thẳng dcó phương trình \[3x - y - 3 = 0\].Viết phương trình đường thẳng d1là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v = \left[ { - 1;2} \right]\]và phép quay tâm Ogóc quay -90°.
Câu 2. [5 điểm ]
Trong mặt phẳng Oxycho đường tròn \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\]. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v = \left[ {2;0} \right]\]phép vị tự tâm Otỉ số \[k = - 3\].
Giải:
Câu 1.
Lấy điểm \[M = \left[ {x;y} \right]\]
Giả sử \[{M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left[ M \right]\]và \[M' = {Q_{\left[ {O, - {{90}^0}} \right]}}\left[ {{M_1}} \right]\]
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{x_1} = - 1 + x \hfill \cr
{y_1} = 2 + y \hfill \cr} \right.\] và
\[\left\{ \matrix{
x' = {y_1} \hfill \cr
y' = - {x_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 - y` \hfill \cr
y = x' - 2 \hfill \cr} \right.\]
Thế \[\left[ {x;y} \right]\]theo \[\left[ {x';y'} \right]\]vào phương trình , ta có:
\[3\left[ {1 - y'} \right] - \left[ {x' - 2} \right] - 3 = 0\]. Như vậy phương trình d là :
\[x' + 3y' - 2 = 0\]hay \[x + 3y - 2 = 0\].
Câu 2. Cách 1.
Giả sử \[{M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left[ M \right]\]và \[M' = {V_{\left[ {O,k = - 3} \right]}}\left[ {{M_1}} \right]\]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{x_1} = x + 2 \hfill \cr
{y_1} = y + 0 \hfill \cr} \right.\] và
\[\left\{ \matrix{
x' = - 3{x_1} \hfill \cr
y' = - 3{y_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x' = - 3\left[ {x + 2} \right] \hfill \cr
y' = - 3y \hfill \cr} \right.\]
Khi đó:
\[\left\{ \matrix{
x = {{x'} \over { - 3}} - 2 \hfill \cr
y = {{y'} \over { - 3}} \hfill \cr} \right.\]
Thế x, ytheo x, yvào phương trình đường tròn [C]đã cho, ta có:
\[{\left[ {\left[ { - {{x'} \over 3} - 2} \right] - 1} \right]^2} + {\left[ {\left[ { - {{y'} \over 3}} \right] - 2} \right]^2} = 9\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ { - {{x'} \over 3} - 3} \right]^2} + {\left[ { - {{y'} \over 3} - 2} \right]^2} = 9 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x' + 9} \right]^2} + {\left[ {y' + 6} \right]^2} = 81 \cr} \]
Vậy \[{\left[ {x + 9} \right]^2} + {\left[ {y + 6} \right]^2} = 81\]là phương trình của đường tròn ảnh [C]của đường tròn [C]qua phép dời hình đã cho.
Cách 2.
Đường tròn [C]có tâm \[I\left[ {1;2} \right]\], bán kính R = 3.
- Qua \[{T_{\overrightarrow v }}\]: [C]biến thành đường tròn [C1]tâm I1, có tọa độ là :
\[\left\{ \matrix{
{x_1} = 1 + 2 = 3 \hfill \cr
{y_1} = 2 + 0 = 2 \hfill \cr} \right.\] , bán kính R1 = 3
- Qua phép vị tự \[{V_{\left[ {O,k = - 3} \right]}}\], [C1]biến thành đường tròn [C]tâm I, có tọa độ là :
\[\left\{ \matrix{
x' = - 3{{\rm{x}}_1} = - 9 \hfill \cr
y' = - 3{y_1} = - 6 \hfill \cr} \right.\] , bán kính \[R' = \left| k \right|{R_1} = 9\]
Vậy phương trình đường tròn [C]là: \[{\left[ {x + 9} \right]^2} + {\left[ {x + 6} \right]^2} = 81\].