Hai lô thuốc a và b mỗi lô có rất nhiều lọ. tỉ lệ lọ hỏng ở 2 lô lần lượt là 0,1; 0,15

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]Chương 2ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNMở đầuGiả sử tỷ lệ bệnh B trong dân số là 20%. Quan sát ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là sốngười bệnh, khi đó X {0,1,2,3} . X được gọi là ĐLNN.1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theokết quả của phép thử.Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên.Ví dụ 1. Một hộp có 6 lọ thuốc tốt và 4 lọ thuốc hỏng. Lấy từ hộp ra 3 lọ thuốcGọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thểnhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiêna. Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạnđếm được các giá trị.Ví dụ 2. Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X làmột đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị: 0; 1;..; n.b. Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếmđược các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tậpcác số thực.Ví dụ 3. Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại lượngngẫu nhiên liên tục.1.3. Luật phân phốiVới X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0, x1,…,xn talập bảng:XP[X]x1p1x2p2……xnpnĐược gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.Ví dụ 4. Một hộp có 6 lọ thuốc tốt và 4 lọ thuốc hỏng. Lấy từ hộp ra 3 lọ thuốcBộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng1ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suấtcủa X.Ví dụ 5. Giả sử tỷ lệ bệnh B trong dân số là 0,2. Khám ngẫu nhiên 3 người. Gọi Xlà số người bệnh trong 3 người được khám. Hãy lập bảng phân phối xác suất củaX.Ví dụ 6. Có hai hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 1 lọ hỏng,còn lại là lọ tốt.a] Lấy ở mỗi hộp 1 lọ. Lập bảng phân phối xác suất của số lọ hỏng trong 2 lọlấy ra?b] Chọn một hộp thuốc, rồi từ đó lấy ra hai lọ. Lập bảng phân phối xác suấtcủa số lọ hỏng trong 2 lọ lấy ra?§2. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN2.1. Kỳ vọng [hay giá trị trung bình]Định nghĩa. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M[X], là số thực đượcxác định như sau:Nếu X rời rạc có luật phân phốiXP[X]Thì M [ X ]  x1 p1  x2 p2 x1p1x2p2……xnpnxn pnTính chất1. Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng số đó, nghĩa là:M[C] = C [C: Const].2. Với k là hằng số ta có M[kX] = kM[X].3. M[X + Y] = M[X] + M[Y].4. Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có M[XY] = M[X]M[Y].Ý nghĩa. Kỳ vọng là giá trị trung bình trong các giá trị mà X nhận2.2. Phương sai và độ lệch chuẩnĐịnh nghĩa. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D[X], là số thựckhông âm định bởi: D[ X ]  M [ X 2 ]  M 2 [ X ]Trong đó M [ X 2 ]  x12 p1  x2 2 p2  xn 2 pnCăn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ [X ].Vậy σ[X] = D[X] .Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng2ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]Tính chất1. Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0, nghĩa là: D[C] = 0.2. Với k là hằng số ta có D[kX] = k2[D[X].3. Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D[X + Y] = D[X] + D[Y].Ý nghĩa. Phương sai biểu thị độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên xung quanhgiá trị trung bình của nó. Nếu phương sai lớn thì các giá trị của X phân tán nhiềuvà ngược lại.2.3. Mode. Giá trị x0 được gọi là mode của X, kí hiệu là mod[X], nếu nó là giá trịcó xác suất lớn nhất.Ví dụ. Một nghiên cứu y học cho biết xác suất thành công của phép hóa trị khiđiều trị ung thư da là 70%. Giả sử có 5 bệnh nhân được điều trị bằng hóa trị và gọiX là số người điều trị thành công trong 5 người. Ta có bảng phân phối xác suất sauXP[X]00,00210,02920,13230,30940,36050,168Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.§3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT3.1. Phân phối nhị thức [Bernuolli]Xét một thí nghiệm chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: ‘‘thành công’’ hoặc‘‘thất bại’’. Thành công với xác suất p, thất bại với xác suất 1 – p. Thí nghiệm nhưvậy gọi là phép thử Bernoulli.Ví dụ.i] Khám bệnh có hai khả năng: Có bệnh / không có bệnhii] Điều trị bênh: Khỏi / không khỏiiii] Phẩu thuật: Thành công / thất bạiiv] Kiểm tra thuốc: Tốt / xấu1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n vàtồn tại số thực p  [0,1] sao cho P[ X  k ]  Cnk p k [1  p]nk được gọi là đại lượngngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số n, p và kí hiệu X  B[n, p].Ví dụ 1. Cho X  B[10; 0,4], tính các xác suất saua] P[ X  0] , P[ X  2] , P[ X  1] , P[ X  1,5]b] P[ X  8] , P[ X  3] , P[1  X  4] , P[2  X  2]Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng3ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]Ví dụ 2. Bệnh B có tỷ lệ 10% trong dân số. Khám ngẫu nhiên 5 người. Tính xácsuấta] Có một người bị bệnh Bb] Có ít nhất 1 người bị bệnh BVí dụ 3. Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 80%. Điều trị ngẫunhiên 50 người. Tính xác suấta] Có 40 người khỏi bệnhb] Có nhiều nhất 10 người khỏi bệnhVí dụ 4. Tỷ lệ bị bệnh tại phòng khám đa khoa bằng 0,2. Khám bệnh cho 10 người,tính các xác suất sau:a] Có 2 người bị bệnhb] Có nhiều nhất 2 người bị bệnhc] Có ít nhất 8 người bị bệnhVí dụ 5. Điều trị một bệnh có xác suất khỏi bằng 0,8. Điều trị cho 10 người bệnhtrên. Tính các xác suất sau:a] Có 8 người khỏi bệnhb] Có ít nhất 8 người khỏi bệnhc] Có nhiều nhất 1 người khỏi bệnhVí dụ 6. Tính khả năng sinh con trai trong một gia đình có 6 con?Ví dụ 7. Tại một địa phương, tỷ lệ sốt rét là 25% dân số. Chọn ngẫu nhiên 6 người.Tính khả năng để có 4 ngươi bị sốt rét?Ví dụ 8. Một lô thuốc [rất nhiều], có tỷ lệ hỏng là 20%. Lấy ngẫu nhiên từ lôthuốc đó ra 5 lọ. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra?2. Các tham số của phân phối nhị thứcGiả sử X có phân phối nhị thức X  B[n,p]. Khi đó X có các đặc số như sau:a] Mode: Mod[X] = k, trong đó k là số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1b] Kỳ vọng: M[X] = npc] Phương sai: D[X] = npqVí dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt cótrong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng vàphương sai của X. Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu? Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thứcBộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng4ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]Nếu X  B[n, p] trong đó n khá lớn và np =  không nhỏ, thì ta có công thức tínhgần đúng sau: k  np 1P[ X  k ] fnpq  npq  k  np  k  np P[k1  X  k2 ]    2  1 npq  npq Trong đó:1. f[u] là hàm mật độ Gauss, f[u] là hàm số chẵn và f[u] = 0,0001 u  42.  [u ] là hàm tích phân Laplace,  [u ] là hàm số lẻ và  [u]  0,5 u  5Ví dụ.a] Cho X  B[1000;0,001] . Tính P[ X  1]b] Cho Y  B[100;0,8] . Tính P[ X  80] và P[70  X  90]3.2. Phân phối PoissonQuan sát số các biến cố xảy ra trong một thời gian cho trước, số các biến cố trungbình trên một đơn vị là Ví dụ. Số người bị tai nạn giao thông ở một ngã tư, số sản phụ đến sinh trong mộtthời điểm, số hồng cầu trong mỗi ô của hồng cầu kế, số trẻ em sinh đôi trong mộtnăm tại một bệnh viện X...1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, … và tồn k e tại số thực dương  sao cho P[ X  k ] được gọi là đại lượng ngẫu nhiênk!có phân phối Poisson theo tham số  và kí hiệu X  P[  ].Ví dụ. Cho X  P[4], tính các xác suất saua] P[ X  0] , P[ X  2] , P[ X  1] , P[ X  1,5]b] P[ X  3] , P[1  X  4] , P[2  X  2]2. Các tham số của phân phối PoissonGiả sử X có phân phối Poisson X  P[  ]. Khi đó X có các đặc số như sau:Kỳ vọng: M[X] = Phương sai D[X] = Ví dụ. Trong một bệnh viện phụ sản, số sản phụ đến sinh trong 1h có phân phốiPoisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1h cóa] Đúng 3 sản phụ đến sinhb] Có nhiều hơn một sản phụ đến sinh3. Tính chất. Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1  P[  1],Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng5ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]X2  P[  2]. Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2  P[ 1  2 ].4. Định lý Poisson [Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson].Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X  B[n,p]. Giả sửrằng n khá lớn và p khá bé [thông thường p < 0,1]. Khi đó có thể xấp xỉ X bằngđại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y  P[  ] k e với  = np, nghĩa là: P[ X  k ] , với k = 0, 1, 2, …k!Ví dụ. Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một vùng dân cư. Biết xácsuất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0,001. Tính xác suất trong 2000 trẻ cókhông quá 5 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.Ví dụ. Giả sử tỷ lệ tử vong của bệnh sốt xuất huyết là 0,007. Tính xác suất để có 5người chết do sốt xuất huyết trong một nhóm 400 người.Ví dụ. Tỷ lệ bạch cầu ái kiềm của người thường là 0,005, nếu đếm 100 bạch cầu.Tính xác suất để gặp 1 bạch cầu ái kiềm?3.3. Phân phối siêu bội1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n vàCMk CNnkMtồn tại các số nguyên M, N [ n  M  N ] sao cho P[ X  k ] được gọi làCNnđại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội theo ba tham số N, M, n và kí hiệuX  H[N, M, n].Ví dụ. Cho X  H[10, 6, 4], tính các xác suất saua] P[ X  0] , P[ X  2] , P[ X  1] , P[ X  1,5]b] P[ X  4] , P[ X  3] , P[1  X  4] , P[2  X  2]2. Các đặc số của phân phối siêu bộiGiả sử X có phân phối siêu bội X  H[N, M, n]. Khi đó X có các đặc số như sau:MKỳ vọng: M[X] = np với p NN nPhương sai: D[ X ]  npqvới q  1  pN 1Ví dụ. Một hộp chứa 12 lọ thuốc gồm 8 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Chọn ngẫu nhiên từhộp ra 4 lọ thuốc. Gọi X là số lọ hỏng có trong 4 lọ lấy ra. Hãy tìm luật phân phốicủa X và xác định kỳ vọng, phương sai của X.GiảiTa thấy X có phân phối siêu bộiX  H[N, M, n] với N = 12; M = 8, n = 4.Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng6ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]Từ đây ta tính đượcP[X = 0] = 1/495; P[X = 1] = 32/495; P[X = 2] = 168/495;P[X = 3] = 224/495; P[X = 4] = 70/495.Vậy luật phân phối của X là:XP[X]01/495132/4952168/4953224/495470/4953. Định lý [quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội]Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X  H[N, M, n]. Giả sửrằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y cóMphân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y  B[n, p] với p , khi đóNP[ X  k ]  Cnk p k [1  p]nk , với k = 0, 1, 2, …, nVí dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọnđược 7 sản phẩm tốt.GiảiGọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phốisiêu bội X  H[N, M, n] với N = 10000; M= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so vớiN = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X  B[n,p] với n = 10;p = M/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là:P[ X  7]  C107 0,870,233.4. Phân phối chuẩnĐịnh nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị [, ] , và tồnk   k1   tại các số thực  , 2 sao cho P[k1  X  k2 ]    2      Khi đó X được gọi là ĐLNN có phân phối chuẩn với hai tham số  , 2Kí hiệu. X  N [ , 2 ]Ví dụ. Cho X  N [200,4] . Tính các xác suất saua] P[196  X  205]b] P[196  X  204]c] P[ X  190]d] P[ X  206]Ví dụ. Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh là đại lượng ngẫu nhiên có phân phốichuẩn với kỳ vọng là 3,2kg và phương sai 0,16kg2. Một trẻ sơ sinh được gọi làBộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng7ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]bình thường nếu trọng lượng từ 2,688 đến 3,721kg. Đo trọng lượng một cách ngẫunhiên trên 100 trẻ sơ sinh. Tính:a] xác suất để có 100 trẻ bình thườngb] xác suất để có ít nhất 75 trẻ bình thườngVí dụ. Một bệnh B chiếm 10% dân số. Chọn ngẫu nhiên 100 người. Tính xác suất:a] Có 6 người bị bệnhb] Không tới 6 người bị bệnh Bc] Số người bị bệnh trong khoảng 6 đến 12 ngườiBÀI TẬP1. Tỷ lệ lọ thuốc hỏng trong hai lô thuốc A, B theo thứ tự là 0,1 và 0,07. Giả sửcác lô thuốc này có rất nhiều lọ.a] Lấy ngẫu nhiên 5 lọ thuốc ở lô B. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏngb] Lấy tối thiểu mấy lọ trong lô B để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng  0,95?c] Chọn ngẫu nhiên một trong 2 lô rồi lấy ra 3 lọ.1] Tính xác suất có một lọ hỏng2] Nếu lọ lấy ra là hỏng. Tính xác suất lọ thuốc đó thuộc lô B2. Một xí nghiệp sản xuất thuốc cho biết có 10% số chai không đúng tiêu chuẩn.Lấy 10 chai, tính xác suất để:a] Có 1 chai không đúng tiêu chuẩnb] Có ít nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩnc] Có nhiều nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩn3. Một máy sản suất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 7%a] Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất1] Có 1 sản phẩm hỏng?2] Có ít nhất 1 sản phẩm hỏng?3] Có nhiều nhất 1 sản phẩm hỏng?b] Quan sát tối thiểu mấy sản phẩm để xác suất có ít nhất 1 sản phẩm hỏng lớnhơn hoặc bằng 90%?3. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh trung bình có 1 trường hợp bị phản ứngtrên 1000. Ta lại dùng huyết thanh trên tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để:a] Có 3 ca bị phản ứngb] Nhiều nhất 3 ca bị phản ứngc] Hơn 3 ca bị phản ứng4. Tỷ lệ một bệnh bẩm sinh trong dân số là 1%.Bệnh này cần được chăm sóc đặc biệt ngay từ lúc mới sinh. Một nhà bảo sinhthường có 20 ca sinh trong một tuần lễ. Tính xác suất để:Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng8ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK [ngành Dược]a] Không có ca nào cần được chăm sócb] Có 1 trường hợpc] Có nhiều hơn 1 trường hợp cần được chăm sóc5. Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lượt là 10% và 7%. Giả sử các lôthuốc này có rất nhiều lọa] Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ thuốc hỏng.Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặcbằng 0,9?b] Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng.c] Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 1 lọ. Tính xác suất để lọ lấyra là hỏng. Giả sử lọ lấy ra là hỏng, tính xác suất để chọn được lô A?d] Lấy ngẫu nhiên 50 lọ thuốc ở lô A. Tính xác suất để có 3 lọ hỏng?6. Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn vớikỳ vọng là 3,2kg và phương sai 0,16kg2. Một trẻ sơ sinh được gọi là bình thườngnếu trọng lượng từ 2,688 đến 3,721kg. Đo trọng lượng một cách ngẫu nhiên trên100 trẻ sơ sinh. Tính:a] Xác suất để có 100 trẻ bình thườngb] Xác suất để có ít nhất 75 trẻ bình thường7. Cho biết trọng lượng viên thuốc sản xuất tại xí nghiệp là đại lượng ngẫu nhiêncó phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250mg, phương sai là 8,1mg2. Thuốc đượcđóng thành vĩ, mỗi vĩ 10 viên. Mỗi vĩ gọi là đúng tiêu chuẩn khi trọng lượng từ2490mg đến 2510mg [đã trừ bao bì]. Lấy ngẫu nhiên 100 vĩ để kiểm tra. Tính xácsuất để:a] Có 80 vĩ đạt tiêu chuẩnb] Có từ 70 vĩ trở lên đạt tiêu chuẩn8. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô có rấtnhiều lọ.a] Lấy 3 lọ ở lô A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ [ởlô A] để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95.b] Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng.c] Lấy ở mỗi lô 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Lập bảng phân phốixác suất của X.d] Cửa hàng nhận 500 lọ ở lô A, 300 lọ ở lô B, 200 lọ ở lô C. Ta mua ở cửahàng 1 lọ về dùng. Tính xác suất được lọ tốt.Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng9