- LG a
- LG b
Tìm số thực \[\alpha \], thỏa mãn từng điều kiện sau:
LG a
\[{1 \over 2}\left[ {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right] = 1\,\,\left[ {a > 0} \right];\]
Lời giải chi tiết:
\[{1 \over 2}\left[ {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right] = 1 \]
\[\Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^{2\alpha }} + {a^{ - \alpha }}.{a^\alpha } - 2{a^\alpha } = 0\\
\Leftrightarrow {a^{2\alpha }} + 1 - 2{a^\alpha } = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {{a^\alpha }} \right]^2} - 2{a^\alpha } + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {{a^\alpha } - 1} \right]^2} = 0\\
\Leftrightarrow {a^\alpha } - 1 = 0\\
\Leftrightarrow {a^\alpha } = 1[*]
\end{array}\]
- Nếu \[a \ne \,1\] thì [*] \[\Leftrightarrow \alpha = 0\]
- Nếu \[a = 1\] thì [*] \[\Leftrightarrow \alpha \] là số thực tùy ý.
Cách khác:
\[{1 \over 2}\left[ {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right] = 1 \]
\[\Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {{a^{\frac{\alpha }{2}}}} \right]^2} - 2.{a^{\frac{\alpha }{2}}}.{a^{ - \frac{\alpha }{2}}} + {\left[ {{a^{ - \frac{\alpha }{2}}}} \right]^2} = 1\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {{a^{{\alpha \over 2}}} - {a^{ - {\alpha \over 2}}}} \right]^2} = 0\]
\[\Leftrightarrow {a^{{\alpha \over 2}}} - {a^{ - {\alpha \over 2}}}=0\]
\[\Leftrightarrow {a^{{\alpha \over 2}}} = {a^{ - {\alpha \over 2}}}\][*]
- Nếu \[a \ne \,1\] thì [*] \[\Leftrightarrow {\alpha \over 2} = - {\alpha \over 2} \Leftrightarrow \alpha = 0\]
- Nếu \[a = 1\] thì [*] \[\Leftrightarrow \alpha \] là số thực tùy ý.
LG b
\[{3^{\left| \alpha \right|}} < 27.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng so sánh: Nếu a > 1 thì\[{a^m} < {a^n} \Leftrightarrow m < n\]
Lời giải chi tiết:
\[{3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \]
\[\Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \] [vì 3 > 1]
\[\Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3.\]