- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
\[\sin [\alpha + \beta ]\sin [\alpha - \beta ] \] \[= \sin ^2\alpha - {\sin ^2}\beta \]
\[={\cos ^2}\beta - {\cos ^2}\alpha \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin [\alpha + \beta ]\sin [\alpha - \beta ]\cr& = [\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha ].\cr&[\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha ] \cr
& = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta - {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha \cr&= {\sin ^2}\alpha [1 - {\sin ^2}\beta ] - {\sin ^2}\beta [1 - {\sin ^2}\alpha ] \cr
& = {\sin ^2}\alpha - {\sin ^2}\beta \cr &= [1 - {\cos ^2}\alpha ] - [1 - {\cos ^2}\beta ] \cr
& = {\cos ^2}\beta - {\cos ^2}\alpha \cr} \]
Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng.
LG b
\[{{\tan \alpha + \tan\beta } \over {\tan \alpha - \tan\beta }} = {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\sin [\alpha - \beta ]}}\][Khi các biểu thức có nghĩa]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \tan \alpha + \tan\beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr
& = {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr &= {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \]
\[\tan \alpha - \tan \beta \] \[ = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }} \] \[= \dfrac{{\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha }}{{\cos \alpha \cos \beta }} \] \[= \dfrac{{\sin \left[ {\alpha - \beta } \right]}}{{\cos \alpha \cos \beta }}\]
Do đó: \[{{\tan \alpha + \tan\beta } \over {\tan \alpha - \tan\beta }} \] \[ = \dfrac{{\sin \left[ {\alpha + \beta } \right]}}{{\cos \alpha \cos \beta }}:\dfrac{{\sin \left[ {\alpha - \beta } \right]}}{{\cos \alpha \cos \beta }} \] \[= \dfrac{{\sin \left[ {\alpha + \beta } \right]}}{{\cos \alpha \cos \beta }}.\dfrac{{\cos \alpha \cos \beta }}{{\sin \left[ {\alpha - \beta } \right]}}\] \[= {{\sin [\alpha + \beta ]} \over {\sin [\alpha - \beta ]}}\]