- LG a
- LG b
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[G\]. Chứng minh rằng
LG a
Nếu \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]thì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[{G_1}\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]. Từ đó, ta có \[\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\]
Theo giả thiết, \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
\[\eqalign{
& \Rightarrow\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} + \left[ {\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right] = \overrightarrow {0} \cr& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \cr&\Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr} \]
Cách khác:
Gọi M là trung điểm BC ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \end{array}\]
Do đó A, G, M thẳng hàng; G nằm giữa A, M và \[AG = 2GM \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\]
Vậy G là trọng tâm tam giác.
LG b
Nếu có điểm \[O\] sao cho \[\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right]\]thì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[ {G_1}\]là trọng tâm tam giác \[ABC\].
Từ đó, ta có \[\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right] \cr
& = {1 \over 3}\left[ {3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right] \cr&= \frac{1}{3}\left[ {3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow 0 } \right]= \overrightarrow {O{G_1}} \cr& \Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr} \]
Cách khác:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right]\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} + \left[ {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right] = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\]
Vậy G là trọng tâm tam giác [theo câu a].