- LG a
- LG b
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \[A[2;4];B[3;1];C[ - 1;1]\]
LG a
Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\]
H là trực tâm tam giác ABC \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\]
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \[ \Leftrightarrow IA = IB = IC\]
Lời giải chi tiết:
\[A[2;4],B[3;1],C[ - 1;1]\]
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{4}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 2\end{array} \right.\]
Vậy \[G\left[ {\dfrac{4}{3};2} \right]\]
*Gọi H[x; y], ta có:
\[\overrightarrow {AB} = [1; - 3];\overrightarrow {BC} = [ - 4;0]\];\[\overrightarrow {CH} = [x + 1;y - 1];\]\[\overrightarrow {AH} = [x - 2;y - 4]\]
H là trực tâm tam giác ABC \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4[x - 2] +0[y-4]= 0\\[x + 1] - 3[y - 1] = 0\end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x - 3y + 4 = 0
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\]
*Gọi I[x; y], I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \[ \Leftrightarrow IA = IB = IC\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = BI\\
BI = CI
\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\left[ {x - 2} \right]}^2} + {{\left[ {y - 4} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {x - 3} \right]}^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}} \\
\sqrt {{{\left[ {x - 3} \right]}^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} = {[x - 3]^2} + {[y - 1]^2}\\{[x - 3]^2} + {[y - 1]^2} = {[x + 1]^2} + {[y - 1]^2}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = {\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2}\\
{\left[ {x - 3} \right]^2} = {\left[ {x + 1} \right]^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = {\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2}\\
{x^2} - 6x + 9 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = {\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2}\\
- 8x = - 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {1 - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = {\left[ {1 - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2}\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + {y^2} - 8y + 16 = 4 + {y^2} - 2y + 1\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6y = - 12\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy: I[1; 2]
LG b
Chứng minh H, G, I thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Chứng minh \[\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \] cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow {IH} = [1;0],\overrightarrow {IG} = \left[ {\dfrac{1}{3};0} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = 3\overrightarrow {IG} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \] cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.