- LG a
- LG b
Tìm số các số hạng của cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right],\]biết
LG a
\[q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\]
Công thức tính tổng \[n\] số hạng đầu của cấp số nhân \[{S_n} = \dfrac{{{u_1}\left[ {{q^n} - 1} \right]}}{{q - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} \Leftrightarrow 96 = {u_1}{.2^{n - 1}}\]
Lại có: \[{S_n} = \dfrac{{{u_1}\left[ {{q^n} - 1} \right]}}{{q - 1}}\] \[ \Leftrightarrow 189 = \dfrac{{{u_1}\left[ {{2^n} - 1} \right]}}{{2 - 1}}\] \[ \Leftrightarrow 189 = {u_1}\left[ {{2^n} - 1} \right]\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{189}}{{96}} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}}\] \[ \Leftrightarrow {189.2^{n - 1}} = {96.2^{n - 1}}.2 - 96\] \[ \Leftrightarrow {3.2^{n - 1}} = 96 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 32\] \[ \Leftrightarrow n - 1 = 5 \Leftrightarrow n = 6\]
Vậy \[n = 6.\]
LG b
\[{u_1} = 2,{u_n} = \dfrac{1}{8},{S_n} = \dfrac{{31}}{8}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\]
Công thức tính tổng \[n\] số hạng đầu của cấp số nhân \[{S_n} = \dfrac{{{u_1}\left[ {{q^n} - 1} \right]}}{{q - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{8} = 2.{q^{n - 1}}\\\dfrac{{31}}{8} = \dfrac{{2\left[ {{q^n} - 1} \right]}}{{q - 1}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left[ {q - 1} \right] = 16\left[ {q.{q^{n - 1}} - 1} \right]\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left[ {q - 1} \right] = 16\left[ {\dfrac{1}{{16}}q - 1} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\30q = 15\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \dfrac{1}{2}\\n - 1 = 4\end{array} \right. \Rightarrow n = 5\]
Vậy \[n = 5.\]