- LG a
- LG b
- LG c
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị các hàm số \[y = x, y = 1\] và \[y = {{{x^2}} \over 4}\] trong miền \[x \ge 0,y \le 1.\]
Phương pháp giải:
Dựng hình, tính diện tích miền cần tính và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình thang \[OABC\] là:
\[{S_1} = [2 + 1]{1 \over 2} = {3 \over 2}\]
Diện tích tam giác cong \[OBC\] là hình phẳng giới hạn bởi: \[y = 0,x = 2,y = {{{x^2}} \over 4}\] là:
\[{S_2} = \int\limits_0^2 {{{{x^2}} \over 4}} dx = \left. {{{{x^3}} \over {12}}} \right|_0^2 = {2 \over 3}\]
Diện tích cần tìm là \[S = {S_1} - {S_2} = {3 \over 2} - {2 \over 3} = {5 \over 6}\].
Cách 2:
Diện tích hình phẳng cần tìm chính là tổng diện tích tam giác cong OAD và tam giác cong ADB.
Diện tích tam giác cong OAD là:
\[{S_{OAD}} = \int\limits_0^1 {\left[ {x - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right]dx} \] \[ = \left. {\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right]} \right|_0^1 = \dfrac{5}{{12}} - 0 = \dfrac{5}{{12}}\]
Diện tích tam giác cong ADB là:
\[{S_{ADB}} = \int\limits_1^2 {\left[ {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right]dx} \] \[ = \left. {\left[ {x - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right]} \right|_1^2 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{5}{{12}}\]
Vật diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[\dfrac{5}{{12}} + \dfrac{5}{{12}} = \dfrac{5}{6}\]
Cách 3.
Ta có: \[y = \dfrac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} = 4y\] \[ \Leftrightarrow x = 2\sqrt y \] [do ta chỉ xét miền \[x \ge 0\]]
Gọi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình x=2 y, đường thẳng x = y và y = 0 và đường thẳng y = 1. Diện tích cần tìm là:
\[S = \int\limits_0^1 {\left[ {2\sqrt y - y} \right]dy}\] \[ = \left. {\left[ {2.\dfrac{{{y^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{2}} \right]} \right|_0^1\] \[ = \left. {\left[ {\dfrac{4}{3}y\sqrt y - \dfrac{{{y^2}}}{2}} \right]} \right|_0^1 = \dfrac{5}{6} - 0 = \dfrac{5}{6}\]
LG b
Đồ thị hai hàm số \[y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\], trục tung và đường thẳng \[x = 1\]
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right],\] \[x = a,x = b\].
+] B1: Tìm nghiệm \[a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\] của phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\].
+] B2: Tính diện tích theo công thức:
\[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[ = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + ... + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[ = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]\[ + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[ + ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[ + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[-2