- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Trong những trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:
LG a
Đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua M0[x0,y0,z0] và nhận \[\overrightarrow u = \left[ {a;b;c} \right]\] làm vectơ chỉ phương có phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\].
LG b
Đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A[xA,yA,zA] và B = [xB,yB,zB] là đường thẳng đi qua A[xA,yA,zA] và vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} \] \[ = \left[ {{x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A}} \right]\]
Đường thẳng AB có phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + \left[ {{x_B} - {x_A}} \right]t\\y = {y_A} + \left[ {{y_B} - {y_A}} \right]t\\z = {z_A} + \left[ {{z_B} - {z_A}} \right]t\end{array} \right.\]
LG c
Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua A[xA,yA,zA] và vuông góc với mp[α]:Ax+By+Cz+D=0 là đường thẳng đi qua A[xA,yA,zA] và nhận \[\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} = \left[ {A;B;C} \right]\] là vectơ chỉ phương nên đường thẳng đó có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + At\\y = {y_A} + Bt\\z = {z_A} + Ct\end{array} \right.\]
LG d
Đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau [P] và [Q] là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ \[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\] làm vectơ chỉ phương, trong đó \[{\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} }\] lần lượt là vectơ pháp tuyến của [P] và [Q].
LG e
Đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt nhau với hai đường thẳng chéo nhau d1và d2ta làm như sau:
+ Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa A và d1:
+ Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa A và d2:
+ Giao tuyến của [P] và [Q] chính là đường thẳng cần tìm, vậy phương trình đường thẳng cần tìm là hệ hai phương trình của mặt phẳng [P] và mp[Q].
Cách khác:
- Gọi B, C lần lượt là giao điểm của \[{d_1},{d_2}\] với \[\Delta \].
- Tham số hóa tọa độ của B, C theo ẩn t, t.
- Tính tọa độ các véc tơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \].
- Lập hệ phương trình ẩn t, t dựa vào chú ý \[\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \] [do \[A,B,C\] thẳng hàng, cùng thuộc \[\Delta \]].
- Giải hệ phương trình tìm \[t,t'\] suy ra tọa độ A, B và viết phương trình.
LG f
Là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước?
Lời giải chi tiết:
Cho hai đường thẳng d1và d2chéo nhau, đường vuông góc chung Δ của d1và d2là giao tuyến của hai mặt phẳng [P] và [Q], trong đó [P] chứa d1và Δ, [Q] chứa d2và chứa Δ.
Vậy để viết phương trình đường vuông góc chung của d1và d2cần viết được phương trình của [P] và [Q]
+ Mặt phẳng [P] chứa d1và Δ là mặt phẳng đi qua M1d1và nhận vectơ \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right]\] làm vectơ pháp tuyến, trong đó \[\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \] lần lượt là vectơ chỉ phương của d1và d2.
+ Mặt phẳng [Q] chứa d2và Δ là mặt phẳng đi qua M2d2và nhận vectơ \[\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right]\] làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình của Δ là hệ phương trình của hai mặt phẳng [P] và [Q].
Cách khác:
- Gọi A, B lần lượt là giao điểm của \[{d_1},{d_2}\] với \[\Delta \].
- Tham số hóa tọa độ của A, B theo ẩn t, t.
- Lập hệ phương trình ẩn t, t dựa vào chú ý \[\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}} \] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.\].
- Giải hệ phương trình tìm \[t,t'\] suy ra tọa độ B, C và viết phương trình.