- LG a
- LG b
Cho hai điểm \[A[-1 ; 0], B[1 ; 0]\] và đường thẳng \[\Delta : x - \dfrac{1}{4} = 0\].
LG a
Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[MB=2MH,\] với \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] trên\[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Xét \[M[x ; y].\] Ta có
\[\begin{array}{l}MB = 2MH \Leftrightarrow M{B^2} = 4M{H^2} \\ \Leftrightarrow {[x - 1]^2} + {y^2} = 4{\left[ {x - \dfrac{1}{4}} \right]^2}\\\Leftrightarrow 3{x^2} - {y^2} = \dfrac{3}{4} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{3}{4}}} = 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\end{array}\]
Tập hợp các điểm \[M\] cần tìm là hypebol có phương trình [1].
LG b
Tìm tập hợp các điểm \[N\] sao cho các đường thẳng \[AN\] và \[BN\] có tích các hệ số góc bằng \[2.\]
Lời giải chi tiết:
Xét \[N[x ; y]\] thì \[\overrightarrow {AN} = [x + 1 ; y], \overrightarrow {BN} = [x - 1 ; y]\]. Rõ ràng \[x \ne - 1\] và \[x \ne 1\] [vì nếu không thì các đường thẳng \[AN\] và \[BN\] lần lượt có hệ số góc \[{k_1} = \dfrac{y}{{x + 1}}, {k_2} = \dfrac{y}{{x - 1}}\].
Khi đó :
\[{k_1}.{k_2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{y}{{x + 1}}. \dfrac{y}{{x - 1}} = 2\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} - 1}} = 2 \Leftrightarrow {y^2} = 2{x^2} - 2 \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1 \] [2]
Tập hợp các điểm \[N\] cần tìm là hypebol có phương trình [2] bỏ đi hai đỉnh : \[[-1 ; 0]\] và \[[1 ; 0].\]