- LG a
- LG b
Xét các biểu thức
\[\begin{array}{l}S = \sin \alpha + sin2\alpha + sin3\alpha + \ldots + \sin n\alpha ,\\T = 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \ldots cosn\alpha \end{array}\]
[\[n\] là một số nguyên dương]
Chứng minh
LG a
\[S\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left[ {n + 1} \right]\alpha }}{2}\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k = 1,2,3, \ldots ,n,\] ta có:
\[\sin k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left[ {2k - 1} \right]\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]\alpha }}{2}} \right]\]
Nên
\[\begin{array}{l}S.\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left[ {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right] + \left[ {\cos \dfrac{{3\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{5\alpha }}{2}} \right]} \right.\\\left. { + \ldots + \left[ {\cos \dfrac{{\left[ {2n - 1} \right]\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left[ {2n + 1} \right]\alpha }}{2}} \right]} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left[ {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{\left[ {2n + 1} \right]\alpha }}{2}} \right]} \right]\\ = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left[ {n + 1} \right]\alpha }}{2}\end{array}\]
LG b
\[T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left[ {n + 1} \right]\alpha }}{2}\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k = 1,2,3 \ldots ,n,\] ta có:
\[\cos k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left[ {2k - 1} \right]\alpha }}{2}} \right]\]
nên
\[\begin{array}{l}T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{1}{2}\left[ {\left[ {\sin \dfrac{{3\alpha }}{2} - \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right] + \left[ {\sin \dfrac{{5\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right]} \right.\\\left. { + \ldots + \left[ {\sin \dfrac{{\left[ {2n + 1} \right]\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left[ {2n - 1} \right]\alpha }}{2}} \right]} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left[ {2n + 1} \right]\alpha }}{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right]\\ = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left[ {n + 2} \right]\alpha }}{2}\end{array}\]