|
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Trong
chuyên đề này ta sẽ hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử và giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta
sẽ tìm hiểu về các phương pháp sau:
1. Tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử
2. Thêm, bớt cùng một hạng
tử
3. Đặt ẩn phụ
4. Phương pháp hệ số bất
định
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức $f[x]$ có nghiệm hữu tỉ thì có
dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là ước của hệ số tự do, $q$ là ước dương của hệ
số cao nhất
+ Nếu $f[x]$ có tổng các hệ số bằng 0
thì $f[x]$ có một nhân tử là $x – 1$
+ Nếu $f[x]$ có tổng các hệ số của các hạng
tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì $f[x]$ có một nhân tử
là $x + 1$
+ Nếu $a$ là nghiệm nguyên của $f[x]$ và
$f[1]; f[- 1]$ khác 0 thì $\frac{{{{f[1]}}}}{{{{a - 1}}}}$ và
$\frac{{{{f[ - 1]}}}}{{{{a + 1}}}}$ đều là số nguyên. Để nhanh
chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
Ví dụ 1: $3x^2 – 8x + 4$
Hướng dẫn:
Cách
1: Tách hạng tử thứ 2
$3x^2 – 8x + 4 = 3x^2 – 6x – 2x + 4 = 3x[x – 2] – 2[x – 2] =
[x – 2][3x – 2]$
Cách
2: Tách hạng tử thứ nhất:
$3x^2 – 8x + 4 = [4x^2 – 8x + 4] - x^2 = [2x – 2]^2 – x^2 =
[2x – 2 + x][2x – 2 – x] $
$= [x – 2][3x – 2]$
Ví dụ 2: $x^3 – x^2 – 4$
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy nghiệm của $f[x]$ nếu có thì x = $ \pm 1; \pm 2; \pm 4$, chỉ có
$f[2] = 0$ nên $x = 2 $ là nghiệm của $f[x]$ nên $f[x]$ có một nhân tử là $x –
2$. Do đó ta tách $f[x]$ thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là $x –
2$
Cách
1:
$x^3 – x^2 – 4 =$ $\left[ {{x^3} - 2{x^2}} \right] + \left[ {{x^2} - 2x}
\right] + \left[ {2x - 4} \right] $
$
= {x^2}\left[ {x - 2} \right] + x[x - 2] + 2[x - 2]= \left[ {x - 2}
\right]\left[ {{x^2} + x + 2} \right]$
Cách
2:
${x^3}
- {x^2} - 4 = {x^3} - 8 - {x^2} + 4 $
$=
\left[ {{x^3} - 8} \right] - \left[ {{x^2} - 4} \right] = [x - 2][{x^2} + 2x +
4] - [x - 2][x + 2]$
$=\left[ {x - 2} \right]\left[ {\left[ {{x^2} + 2x + 4} \right] - [x + 2]}
\right] = [x - 2][{x^2} + x + 2]$
Ví dụ 3: $f[x] = 3x^3 – 7x^2 + 17x – 5$
Hướng dẫn:
$ \pm 1, \pm 5$ không là nghiệm của $f[x]$, như vậy $f[x]$ không có nghiệm
nguyên. Nên $f[x]$ nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy $x =$ $\frac{1}{3}$ là nghiệm của $f[x]$ do đó $f[x]$ có một nhân
tử là $3x – 1$. Nên
$f[x] = 3x^3 – 7x^2 + 17x – 5 = 3{x^3} - {x^2} - 6{x^2} + 2x + 15x
- 5 $
$=
\left[ {3{x^3} - {x^2}} \right] - \left[ {6{x^2} - 2x} \right] + \left[ {15x -
5} \right]$
= ${x^2}[3x - 1] - 2x[3x - 1] + 5[3x - 1] = [3x - 1][{x^2} - 2x + 5]$
Vì ${x^2} - 2x + 5 = [{x^2} - 2x + 1] + 4 = {[x - 1]^2} + 4 > 0$ với mọi $x$
nên không phân tích được thành nhân tử nữa
Ví dụ 4: $x^3 + 5x^2 + 8x + 4 $
Hướng dẫn:
Tổng
các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ
nên đa thức có một nhân tử là $x + 1$
$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = [x^3 + x^2 ] + [4x^2 + 4x] + [4x + 4] $
$=
x^2[x + 1] + 4x[x + 1] + 4[x + 1]$
$= [x + 1][x^2 + 4x + 4] = [x + 1][x + 2]^2$
Ví dụ 5: $f[x] = x^5 – 2x^4 + 3x^3 – 4x^2 + 2$
Hướng dẫn:
Tổng
các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là $x – 1$, chia $f[x]$ cho $[x
– 1]$ ta có:
$x^5 – 2x^4 + 3x^3 – 4x^2 + 2 = [x – 1][x^4 - x^3 + 2
x^2 - 2 x - 2]$
Vì $x^4 - x^3 + 2 x^2 - 2 x - 2$ không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 6: $ x^4 + 1997x^2 + 1996x + 1997 $
Hướng dẫn:
$
x^4 + 1997x^2 + 1996x + 1997 = [x^4 + x^2 + 1] + [1996x^2 + 1996x + 1996]$
$=
[x^2 + x + 1][x^2 - x + 1] + 1996[x^2 + x + 1]$
$= [x^2 + x + 1][x^2 - x + 1 + 1996] = [x^2 + x +
1][x^2 - x + 1997]$
Ví dụ 7: $x^2 - x - 2001.2002 $
Hướng dẫn:
$x^2
- x - 2001.2002 = x^2 - x - 2001.[2001 + 1]$
$= x^2 - x – 20012 - 2001 = [x^2 – 20012] – [x + 2001] = [x + 2001][x –
2002]$
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất
hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: $4x^4 + 81 $
Hướng dẫn:
$4x^4 + 81 = 4x^4 + 36x^2 + 81 - 36x^2 = [2x^2 + 9]^2 – 36x^2 $
$=
[2x^2 + 9]^2 – [6x]^2 = [2x^2 + 9 + 6x][2x^2 + 9 – 6x] $
$= [2x^2 + 6x + 9 ][2x^2 – 6x + 9] $
Ví dụ 2: $x^8 + 98x^4 + 1 = $
Hướng dẫn:
$x^8
+ 98x^4 + 1 = [x^8 + 2x^4 + 1 ] + 96x^4 $
$=
[x^4 + 1]^2 + 16x^2[x^4 + 1] + 64x^4 - 16x^2[x^4 + 1] + 32x^4$
$= [x^4 + 1 + 8x^2]^2 – 16x^2[x^4 + 1 – 2x^2]$
$
= [x^4 + 8x^2 + 1]^2 - 16x^2[x^2 – 1]^2$
$= [x^4 + 8x^2 + 1]^2 - [4x^3 – 4x ]^2 $
$= [x^4 + 4x^3 + 8x^2 – 4x + 1][x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 4x + 1]$
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất
hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: $x^7 + x^2 + 1$
Hướng dẫn:
$x^7
+ x^2 + 1 = [x^7 – x] + [x^2 + x + 1 ] $
$=
x[x^6 – 1] + [x^2 + x + 1 ] $
$=
x[x^3 - 1][x^3 + 1] + [x^2 + x + 1 ] $
$=
x[x – 1][x^2 + x + 1 ] [x^3 + 1] + [x^2 + x + 1]$
$= [x^2 + x + 1][x[x – 1][x^3 + 1] + 1]$
$
= [x^2 + x + 1][x^5 – x^4 + x^2 - x + 1]$
Ví dụ 2: $x^7 + x^5 + 1$
Hướng dẫn:
$x^7
+ x^5 + 1 = [x^7 – x ] + [x^5 – x^2 ] + [x^2 + x + 1] $
$= x[x^3 – 1][x^3 + 1] + x^2[x^3 – 1] + [x^2 + x + 1] $
$= [x^2 + x + 1][x – 1][x^4 + x] + x^2 [x – 1][x^2 + x + 1] +
[x^2 + x + 1]$
$= [x^2 + x + 1][[x^5 – x^4 + x^2 – x] + [x^3 – x^2 ] + 1] $
$=
[x^2 + x + 1][x^5 – x^4 + x^3 – x + 1] $
Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng $x^{3m+1} + x^{3n+2} + 1$ như: $x^7 + x^2 + 1 ; x^7 + x^5 +
1 ; x^8 + x^4 + 1 ;x^5 + x + 1 ; x^8 + x + 1 ; …$ đều có nhân tử chung là
$x^2 + x + 1$
III. ĐẶT ẨN PHỤ:
Ví dụ 1: $x[x + 4][x +
6][x + 10] + 128$
Hướng dẫn:
$x[x + 4][x + 6][x + 10] + 128 = [x[x +
10]][[x + 4][x + 6]] + 128$
$
= [x^2 + 10x] + [x^2 + 10x + 24] + 128$
Đặt $x^2 + 10x + 12 = y$, đa thức có dạng:
$[y – 12][y + 12] + 128 = y^2 – 144 + 128 $
$=
y^2 – 16 = [y + 4][y – 4]$
$= [ x^2 + 10x + 8 ][x^2 + 10x + 16 ] $
$=
[x + 2][x + 8][ x^2 + 10x + 8 ]$
Ví dụ 2: $A = x^4 + 6x^3 +
7x^2 – 6x + 1$
Hướng dẫn:
Giả
sử $x \ne 0$ ta viết
$x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 6x + 1 = x^2 [ x^2 + 6x + 7 – \frac{{{6}}}{{{x}}}{{
+ }}\frac{{{{1 }}}}{{{{{x}}^{{2}}}}}] $
$=
x^2 [[x^2 + \frac{{{{1 }}}}{{{{{x}}^{{2}}}}}$$] + 6[x - $$\frac{{{{ 1
}}}}{{{x}}}] + 7 ]$
Đặt $ x - \frac{{{{ 1 }}}}{{{x}}} = y $ thì $x^2 + \frac{{{{1
}}}}{{{{{x}}^{{2}}}}} = y^2 + 2$, do đó
$A = x^2[y^2 + 2 + 6y + 7] = x^2[y + 3]^2 = [xy + 3x]^2 $
$= [x[x - $$\frac{{{{ 1 }}}}{{{x}}}$$]^2 + 3x]^2 = [x^2 + 3x – 1]^2$
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
$A = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 6x + 1 = x^4 + [6x^3 – 2x^2 ] + [9x^2 – 6x + 1 ]$
$ = x^4 + 2x^2[3x – 1] + [3x – 1]^2 = [x^2 + 3x – 1]^2$
Ví dụ 3: $ A = [{x^2} +
{y^2} + {z^2}]{[x + y + z]^2} + {[xy + yz{{ + zx]}}^{{2}}}$
Hướng dẫn:
$A
= [{x^2} + {y^2} + {z^2}]{[x + y + z]^2} + {[xy + yz{{ + zx]}}^{{2}}}$
$=\left[
{[{x^2} + {y^2} + {z^2}] + 2[xy + yz{{ + zx]}}} \right][{x^2} + {y^2} + {z^2}]
+ {[xy + yz{{ + zx]}}^{{2}}}$
Đặt ${x^2} + {y^2} + {z^2}$$ = a, xy + yz + zx = b$ ta có
$A = a[a + 2b] + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 = [a + b]^2$
$
=[ {x^2} + {y^2} + {z^2}$$ + xy + yz + zx]^2$
Ví dụ 4: $B = 2[{x^4} + {y^4} + {z^4}] - {[{x^2} +
{y^2} + {z^2}]^2} - 2[{x^2}$
$+ {y^2} + {z^2}]{[x + y + z]^2} + {[x + y + z]^4}$
Hướng dẫn:
Đặt
$x^4 + y^2 + z^2 = a, x^2 + y^2 + z^2 = b, x + y + z = c$ ta có:
$B = 2a – b^2 – 2bc^2 + c^4 $
$=
2a – 2b^2 + b^2 - 2bc^2 + c^4 = 2[a – b^2] + [b –c^2]^2$
Ta lại có: $a – b^2 = - 2[{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}$] và $b
–c^2 = - 2[xy + yz + zx]$ Do đó:
$B = - 4[{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}] + 4 [xy + yz + zx]^2 $
$= - 4{x^2}{y^2} - 4{y^2}{z^2} - 4{z^2}{x^2} + 4{x^2}{y^2} + 4{y^2}{z^2} +
4{z^2}{x^2} + 8{x^2}yz + 8x{y^2}z + 8xy{z^2} $
$=
8xyz[x + y + z]$
Ví dụ 5: ${[a + b + c]^3} - 4[{a^3} + {b^3} + {c^3}] -
12abc$
Đặt $a + b = m, a – b = n$ thì $4ab = m^2 – n^2$
$ a^3 + b^3 = [a + b][[a – b]^2 + ab] = m[n^2 + $$\frac{{{{{m}}^{{2}}}{{
- }}{{{n}}^{{2}}}}}{{{4}}}$].
Ta
có:
$C = [m + c]^3 – 4. $$\frac{{{{{m}}^{{3}}}{{ +
3m}}{{{n}}^{{2}}}}}{{{4}}} - 4{{{c}}^{{3}}} - 3{{c[}}{{{m}}^{{2}}}{{
- }}{{{n}}^{{2}}}]$
$=
3[ - c^3 +mc^2 – mn^2 + cn^2]$
$= 3[c^2[m - c] - n^2[m - c]] = 3[m - c][c - n][c + n] $
$=
3[a + b - c][c + a - b][c - a + b]$
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: $x^4 - 6x^3 + 12x^2 -
14x + 3$
Hướng dẫn:
Các
số $ \pm $1, $ \pm $3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
$[x^2 + ax + b][x^2 + cx + d] = x^4 + [a + c]x^3 + [ac + b + d]x^2 + [ad + bc]x
+ bd$
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
$\left\{ \begin{array}
a + c = - 6 \\
ac + b + d = 12 \\
ad + bc = - 14 \\
bd = 3 \\
\end{array} \right.$
Xét $bd = 3$ với $b, d \in Z,b \in \left\{ { \pm 1, \pm 3} \right\}$
Với $b = 3$ thì $d = 1$ hệ điều kiện trên trở thành:
$\left\{ \begin{array}
a + c = - 6 \\
ac = - 8 \\
a + 3c = - 14 \\
bd = 3 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
2c = - 8 \\
ac = 8 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
c = - 4 \\
a = - 2 \\
\end{array} \right.$
Vậy: $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 14x + 3 = [x^2 - 2x + 3][x^2 - 4x
+ 1] $
Ví dụ 2: $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 +
6x + 8$
Hướng dẫn:
Đa
thức có 1 nghiệm là $x = 2$ nên có thừa số là $x – 2$ do đó ta có:
$ 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = [x - 2][2x^3 + ax^2 + bx + c] $
$= 2x^4 + [a - 4]x^3 + [b - 2a]x^2 + [c - 2b]x - 2c $
$ \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}
a - 4 =- 3 \\
b - 2a =- 7 \\
c - 2b = 6 \\
- 2c = 8 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
a = 1 \\
b = - 5 \\
c =- 4 \\
\end{array} \right.$
Suy ra: $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = [x - 2][2x^3 + x^2 - 5x - 4]
$
Ta lại có $2x^3 + x^2 - 5x - 4$ là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử
bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là$x + 1$
Nên
$2x^3 + x^2 - 5x - 4 = [x + 1][2x^2 - x - 4]$
Vậy: $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = [x - 2][x + 1][2x^2 - x - 4]$
Ví dụ 3: $12x^2 + 5x -
12y^2 + 12y - 10xy - 3$
Hướng dẫn:
$12x^2
+ 5x - 12y^2 + 12y - 10xy - 3 = [a x + by + 3][cx + dy - 1]$
$= acx^2 + [3c - a]x + bdy^2 + [3d - b]y + [bc + ad]xy – 3 $
$ \Rightarrow $$\left\{ \begin{array}
ac = 12 \\
bc + ad = - 10 \\
3c - a = 5 \\
bd = - 12 \\
3d - b = 12 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
a = 4 \\
c = 3 \\
b = - 6 \\
d = 2 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ $12x^2 + 5x - 12y^2 + 12y - 10xy - 3 = [4 x - 6y + 3][3x +
2y - 1]$
Bài tập tự giải
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1] $x^3 - 7x + 6$
2] $x^3 - 9x^2 + 6x + 16$
3] $x^3 - 6x^2 - x + 30$
4] $2x^3 – x^2 + 5x + 3$
5] $27x^3 - 27x^2 + 18x – 4$
6] $x^2 + 2xy + y^2 - x - y – 12$
7] $[x + 2][x +3][x + 4][x + 5] – 24$
8] $4x^4 - 32x^2 + 1$
9] $3[x^4 + x^2 + 1] - [x^2 + x + 1]^2 $
10] $64x^4 + y^4$
11] $a^6 + a^4 + a^2b^2 + b^4 – b^6$
12] $x^3 + 3xy + y^3 – 1$
13] $4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$
14] $x^8 + x + 1$
15] $x^8 + 3x^4 + 4 $
16] $3x^2 + 22xy + 11x + 37y + 7y^2 +10$
17] $x^4 - 8x + 63$
Đa thức
Phân tích thành nhân tử
|