Phương trình bậc 2 với hệ số thực

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a] \[\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\]

b] \[{z^3} + 8 = 0\]

c] \[z^3-27=0\]

d] \[\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\]

Lời giải:

a] \[\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\]

Ta có: \[{\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \[z=-1+2i;z=-1-2i.\]

b] \[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow [z + 2][{z^2} - 2z + 4] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,[*] \end{array} \right.\]

Giải [*]: 

Ta có: \[\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\]. Vậy [*] có hai nghiệm phức: \[z = 1 \pm \sqrt 3 i.\]

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \[z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\]

c] \[{z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ {z - 3} \right]\left[ {{z^2} + 3z + 9} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,[*] \end{array} \right.\]

Giải [*]:

Ta có: \[\Delta = - 27 = 27i^2\]. Vậy [*] có hai nghiệm phức: \[z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\]

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \[z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\]

d] \[\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow [z + 1][z - 2][{z^2} + 8] = 0\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\]

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a] \[\,\,[{z^2} - z][z + 3][z + 2] = 10\]

b] \[\,\,{[z + 3]^4} + {[z + 5]^4} = 2\]

c] \[\,\,{[{z^2} + 3z + 6]^2} + 2z[{z^2} + 3z + 6] - 3{z^2} = 0\]

Lời giải:

a] \[\,\,[{z^2} - z][z + 3][z + 2] = 10\]

\[\Leftrightarrow {\left[ {{z^2} - 2z} \right]^2} + 7\left[ {{z^2} - 2z} \right] + 10 = 0\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\]

b] \[\,\,{[z + 3]^4} + {[z + 5]^4} = 2\]

Đặt \[{\rm{t}} = z + {\rm{4}}\], khi đó phương trình trở thành:

\[{[t - 1]^4} + {[t + 1]^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\]

Với \[{\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\]

Với \[{\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\]

Với \[{\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\]

c] \[\,\,{[{z^2} + 3z + 6]^2} + 2z[{z^2} + 3z + 6] - 3{z^2} = 0\]

 Đặt \[t = {z^2} + 3z + 6\], khi đó phương trình trở thành:

\[{t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\]

Với  \[t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\]
Với  \[t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\]

§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ số THựC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Căn bậc hai của số thực a < 0 là ± i ựịãĩ Phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 + bx + c = 0 với a, b, c e K, a * 0 Xét A - b2 - 4ac , . _ t » . . b Nếu A = 0 phương trình có nghiêm kép X = 2a , —bì TÃ ■ Nếu A > 0 phương trình có hai nghiệm thực x12 = — 2a ~ -b±i7ịÃi Nếu A < 0 phương trình có hai nghiệm phức x12 = -——*— B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121. Ốjiảl Căn bậc hai phức của các số: -7; -8; -12; -20; -121 lần lượt là: ±iT7; ±2i72; ±2i73; ±2i75; ±lli c] 5z2 - 7z + 11 = 0. Giải các phương trình sau trên tập hợp sô phức: -3z2 + 2z - 1 = 0 ; b] 7z2 + 3z + 2 = 0 ; Ố^Ịlảl a] —3z2 + 2z — 1 = 0 3z2 - 2z + 1 = 0 A' = 1 - 3 = -2 = 2i2 Phương trình có hai nghiệm phức Zi_2 = A = -47 = 47i2 Phương trình có hai nghiệm phức zlt2 = A = -171 = 171Ĩ2 Phương trình có hai nghiệm phức zli2 = -3 ±1^47 14 7±iTĨ7Ĩ 10 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp sô' phức: a] z4 + z2.- 6 = 0 b] z4 + 7z2 + 10 = 0. í^iải Đặt z = z2, ta được phương trình z2 + z - 6 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là = 2, z2 = -3. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm ±72 và ±i 73 . Đặt z = z2 ta có phương trình z2 + 7Z + 10 = 0 z =-2 z =-5 z2 =-2 z2 =-5 Z = ±i72 z = ±i7õ 4. Cho a, b, c 6 R, a # 0, Zi, z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0. Hãy tính Zi + z2 và Z1.Z2 theo các hệ sô' a, b, c. -b ± TÃ A = b2 - 4ac Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực z1>2 = za Khi đó Zi + z2 = - —; ZpZ2 = — a a . -b ± 7jÃĨ Nếu A < 0 phương trình có hai nghiệm phức zli2 = —--- ■ 2a xn,; b [—b]2 — ĩ2|a| b2 + 4ac - b2 c Khi đó Zi + z2 = -— và Zi.z2 = ——5—— - trr = a 4a 4a a Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ sô' thực nhận z và Z làm nghiệm. Ốịlảl Phương trình bậc hai nhận z, Z làm nghiệm là [x - z][x - Z] = 0 X2 - [z + z ]x + z. Z = 0 Nếu z = a + bi thì z + Z = 2a và z. Z = a2 + b2 Vậy phương trình cần tìm là: X2 - 2ax + a2 + b2 = 0. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tìm các cãn bậc hai phức của các sô' sau: -1; -5; -25. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a] X2 + X + 1 = 0 b] 3x2 - X + 7 = 0 2x4 + 3x2 - 5 = 0 d] X3 + 1 = 0. Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: a] 73 + 2i và 73 - 2i b] 2 - 73 i và -2 - 73 i.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12.

Quảng cáo

Quảng cáo

Quảng cáo

Bài giảng: Bài 4 : Phương trình bậc hai với hệ số thực - Thầy Trần Thế Mạnh [Giáo viên VietJack]

Các bài giải Giải tích 12 Chương 4 khác: