Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Tính đạo hàm của các hàm số sau
LG a
\[y = 2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - {{\cos x} \over x}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.
Lời giải chi tiết:
a]
\[y' =\left [2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - {{\cos x} \over x}\right]'\]
\[\begin{array}{l}
= 2\left[ {\sqrt x \sin x} \right]' - \left[ {\dfrac{{\cos x}}{x}} \right]'\\
= 2\left[ {\left[ {\sqrt x } \right]'\sin x + \sqrt x .\left[ {\sin x} \right]'} \right] - \dfrac{{\left[ {\cos x} \right]'.x - x'\cos x}}{{{x^2}}}
\end{array}\]
\[\eqalign{
& = 2{1 \over {2\sqrt x }}\sin x + 2\sqrt x\cos x - {{ - x\sin x - \cos x} \over {{x^2}}} \cr
& = \dfrac{{\sqrt x \sin x}}{x} + 2\sqrt x \cos x + \frac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\cr & = {{x\sqrt x \sin x + 2{x^2}\sqrt x\cos x + x\sin x + \cos x} \over {{x^2}}} \cr
& = {{x[\sqrt x + 1]\sin x + [2{x^2}\sqrt x + 1]cosx} \over {{x^2}}} \cr} \]
LG b
\[\displaystyle y = {{3\cos x} \over {2x + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{b]y' = \dfrac{{3\left[ {\cos x} \right]'\left[ {2x + 1} \right] - 3\cos x\left[ {2x + 1} \right]'}}{{{{\left[ {2x + 1} \right]}^2}}}\\= \dfrac{{ - 3\sin x\left[ {2x + 1} \right] - 2.3\cos x}}{{{{\left[ {2x + 1} \right]}^2}}}}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{{ - 6x\sin x - 3\sin x - 6\cos x}}{{{{\left[ {2x + 1} \right]}^2}}}}
\end{array}\]
LG c
\[\displaystyle y = {{{t^2} + 2\cos t} \over {\sin t}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left[ {2t - 2\sin t} \right]\sin t - \cos t[{t^2} + 2\cos t]}}{{{{\sin }^2}t}}\\
= \frac{{2t\sin t - 2{{\sin }^2}t - {t^2}\cos t - 2{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}\\
= \frac{{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2\left[ {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right]}}{{{{\sin }^2}t}}\\
= \frac{{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2}}{{{{\sin }^2}t}}
\end{array}\]
LG d
\[y = {{2\cos \varphi - \sin \varphi } \over {3\sin \varphi + \cos \varphi }}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \begin{array}{l}
u = 2\cos \varphi - \sin \varphi \\
v = 3\sin \varphi + \cos \varphi
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u' = - 2\sin \varphi - \cos \varphi \\
v' = 3\cos \varphi - \sin \varphi
\end{array} \right.\]
Ta có:
\[y = \frac{u}{v} \Rightarrow y'=\left [ \dfrac{u}{v} \right ]^{^{'}}\]=\[ \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}\]
Mà:
\[\begin{array}{l}
u'v - v'u = \left[ { - 2\sin \varphi - \cos \varphi } \right].\left[ {3\sin \varphi + \cos \varphi } \right] - \\
\left[ {3\cos \varphi - \sin \varphi } \right].\left[ {2\cos \varphi - \sin \varphi } \right]\\
= - 6{\sin ^2}\varphi - {\cos ^2}\varphi - 5\sin \varphi .\cos \varphi - \\
\left[ {{{\sin }^2}\varphi + 6{{\cos }^2}\varphi - 5\sin \varphi .\cos \varphi } \right]\\
= - 6{\sin ^2}\varphi - {\cos ^2}\varphi - {\sin ^2}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi \\
= - 7{\sin ^2}\varphi - 7{\cos ^2}\varphi \\
= - 7\left[ {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right]\\
= - 7.
\end{array}\]
\[\Rightarrow y'= \frac{-7}{[{3\sin \varphi + \cos \varphi}]^2}\].
LG e
\[y = {{\tan x} \over {\sin x + 2}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left[ {\tan x} \right]'\left[ {\sin x + 2} \right] - \tan x\left[ {\sin x + 2} \right]'}}{{{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left[ {\sin x + 2} \right] - \tan x\cos x}}{{{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\frac{{\sin x + 2}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cos x}}{{{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\sin x + 2 - \sin x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\sin x\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\sin x.{{\sin }^2}x + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{{{\sin }^3}x + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left[ {\sin x + 2} \right]}^2}}}
\end{array}\]
LG f
\[\displaystyle y = {{\cot x} \over {2\sqrt x - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y' = \dfrac{{\left[ {\cot x} \right]'\left[ {2\sqrt x - 1} \right] - \cot x\left[ {2\sqrt x - 1} \right]'}}{{{{\left[ {2\sqrt x - 1} \right]}^2}}}\\= \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\left[ {2\sqrt x - 1} \right] - \cot x.\dfrac{1}{{\sqrt x }}}}{{{{\left[ {2\sqrt x - 1} \right]}^2}}}\]