Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
- LG h
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
LG a
\[f[x] = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\];
Phương pháp giải:
+] Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản [chẳng hạn: đa thức]
+] Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán:
\[\int {{x^n}dx} = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[x>0\]. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
\[f[x] = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.\]
\[\Rightarrow f[x]dx =[x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}]dx \\= \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{6} + 1}}}}{{\frac{1}{6} + 1}} + \frac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C\\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.\]
LG b
\[ f[x]=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm:
\[\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\]
\[\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\;\;f\left[ x \right] = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left[ {\dfrac{2}{e}} \right]^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx} \\= \int {\left[ {{{\left[ {\dfrac{2}{e}} \right]}^x} - {e^{ - x}}} \right]} dx\\= \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{2}{e}} \right]}^x}}}{{\ln \left[ {\dfrac{2}{e}} \right]}}- \dfrac{{{e^{ - x}}}}{{ - 1}}+ C \\= \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left[ {\ln 2 - 1} \right]}} + e^{-x} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left[ {\ln 2 - 1} \right]}} + C.\end{array}\]
LG c
\[f[x] = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\];
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]}dx \\= \int {\left[ {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right]} dx \\ = - \cot x + \tan x + C \\= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C \\= \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C \\= - 2\cot2 x + C.\end{array}\]
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}{\sin ^2}2x\\
\Rightarrow \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\
= \int {\frac{1}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}dx} = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx} \\
= 4.\left[ { - \frac{{\cot 2x}}{2}} \right] + C\\
= - 2\cot 2x + C
\end{array}\]
Ở đó sử dụng công thức
\[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left[ {ax + b} \right]}}dx} = - \frac{{\cot \left[ {ax + b} \right]}}{a} + C\]
LG d
\[f[x] = sin5x.cos3x\]
Phương pháp giải:
Công thức phân tích tích thành tổng:
\[\sin a\cos b \]\[= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {a + b} \right] + \sin \left[ {a - b} \right]} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = \sin 5x.\cos 3x \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin 2x} \right].\\\Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx} \\= \int {\dfrac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin 2x} \right]dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left[ { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right] + C\\ = - \dfrac{1}{4}\left[ {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right] + C.\end{array}\]
LG e
\[f[x] = tan^2x\]
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức:
\[\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\]\[ \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\]
Nguyên hàm: \[\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\;\;f\left[ x \right] = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx} \\ = \int {\left[ {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right]dx}\\ = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx} \\= \tan x - x + C.\end{array}\]
LG g
\[f[x] = e^{3-2x}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\;\;f\left[ x \right] = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\= - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left[ {3 - 2x} \right]'dx} \\ = - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}\]
LG h
\[f[x] =\dfrac{1}{[1+x][1-2x]}\];
Lời giải chi tiết:
Ta có : \[f\left[ x \right] = \dfrac{1}{{\left[ {1 + x} \right]\left[ {1 - 2x} \right]}}\] \[= \dfrac{{1 - 2x + 2\left[ {1 + x} \right]}}{{3\left[ {1 + x} \right]\left[ {1 - 2x} \right]}} \]\[= \dfrac{{1 - 2x}}{{3\left[ {1 + x} \right]\left[ {1 - 2x} \right]}} + \dfrac{{2\left[ {1 + x} \right]}}{{3\left[ {1 + x} \right]\left[ {1 - 2x} \right]}}\] \[ = \dfrac{1}{{3\left[ {x + 1} \right]}} + \dfrac{2}{{3\left[ {1 - 2x} \right]}}.\]
\[\Rightarrow \int \dfrac{dx}{[1+x][1-2x]}\]\[=\dfrac{1}{3}\int [\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x}]dx \]
\[ = \dfrac{1}{3}\left[ {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right]\]
Đặt \[1 + x = t \Rightarrow dx = dt\]
\[ \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} = \int {\dfrac{1}{t}dt} \] \[ = \ln \left| t \right| + {C_1} = \ln \left| {1 + x} \right| + {C_1}\]
Đặt \[1 - 2x = t \Rightarrow - 2dx = dt\]
\[ \Rightarrow \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} = \int {\dfrac{{ - dt}}{t}} \] \[ = - \ln \left| t \right| + {C_2} = - \ln \left| {1 - 2x} \right| + {C_2}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left[ {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right]\\ = \dfrac{1}{3}\left[ {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - 2x} \right|} \right] + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\end{array}\]
Vậy \[\int {f\left[ x \right]dx} = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\]