Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm [đường tròn ngoại tiếp tam giác] Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm [đường tròn ngoại tiếp tam giác]
A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
Cho đường tròn [ C] đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là [ C]: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [*]
[ với điều kiện a2 + b2 - c > 0].
2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào [*] ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.
3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A[1 ; 0] ; B[ 3 ; 4] ?
A. x2 + y2 + 8x - 2y - 9 = 0 B. x2 + y2 - 3x - 16 = 0
C. x2 + y2 - x + y = 0 D. x2 + y2 - 4x - 4y + 3 = 0
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:
Điểm B[ 3; 4] không thuộc đường tròn A.
Điểm A[1; 0] không thuộc đường tròn B.
Điểm B[3; 4] không thuộc đường tròn C.
Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.
Chọn D.
Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A[ 0; 4]; B[ 2; 4] và C[ 4; 0]
A. [0; 0] B. [1; 0] C. [3; 2] D. [1; 1]
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn [C] có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 –c > 0]
Do 3 điểm A; B; C thuộc [C] nên
Vậy tâm I[ 1; 1]
Chọn D.
Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A[0; 4]; B[3; 4]; C[3; 0].
A. 5 B. 3 C. √6,25 D. √8
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn [C] có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 – c > 0]
Do 3 điểm A; B; C thuộc [C] nên
Vậy bán kính R =
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A[-2; 4]; B[5; 5] và C[6; -2]. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:
A. x2 + y2 - 2x - y + 20 = 0 B. [x - 2]2 + [y - 1]2 = 20
C. x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 D. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
Lời giải
Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là [ C]: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 [a2 + b2 - c > 0 ]
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:
Vậy đường tròn [ C] cần tìm: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A[1; -2]; B[-3; 0]; C[2; -2] . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn [ C]. Tính bán kính đường tròn đó?
A. 5 B. 6 C.
Lời giải
Gọi tam giác nội tiếp đường tròn [ C] có phương trình là
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 [a2 + b2 - c > 0 ]
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:
⇒ Bán kính đường tròn [ C] là R =
Chọn C.
Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A[ 2; 1]; B[ 2; 5] ; C[ -2; 1] thuộc đường thẳng có phương trình
A. x - y + 3 = 0 B. x - y - 3 = 0 C. x + 2y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình [ C] có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [a2 + b2 + c > 0 ] . Tâm I [a; b]
Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng
x - y - 3 = 0
Chọn B.
Ví du 7: Cho tam giác ABC có A[2; 1]; B[ 3; 4] và C[-1; 2]. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?
A.
Lời giải
Ta có: AB→[ 1; 3]và AC→[-3; 1 ]
⇒ AB→. AC→ = 1.[-3] + 3.1 = 0
⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
+ Tọa độ tâm I- trung điểm của BC là:
⇒ Khoảng cách OI =
Chọn C.
Ví dụ 8: Tâm của đường tròn qua ba điểm A[ 2; 1] ; B[ 2; 5] và C[ -2; 1] thuộc đường thẳng có phương trình
A. x - y + 3 = 0. B. x + y - 3 = 0 C. x - y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn [C] có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 – c > 0]
Vậy tâm đường tròn là I[ 0; 3] .
Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng
x - y + 3 = 0 thỏa mãn.
Chọn A.