- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Cho tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng:
LG a
\[a=b\cos C+c \cos B ;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \].
Bằng cách nhân hai vế với \[\overrightarrow {BC} \], ta được:
\[\begin{array}{l}{\overrightarrow {BC} ^2} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow {a^2} = ca\cos B + ba\cos C\\ \Leftrightarrow a = b\cos C + c\cos B.\end{array}\]
LG b
\[ \sin A= \sin B \cos C+ \sin C \cos B ;\]
Lời giải chi tiết:
Thay \[a=2R \sin A,\] \[ b=2R \sin B,\] \[ c=2R \sin C\] vào công thức cuối câu a], ta được điều cần chứng minh.
LG c
\[{h_a} = 2R\sin B\sin C\] ;
Lời giải chi tiết:
Ta có \[a.{h_a} = 2S = \dfrac{{ab}}{{2R}} \]
\[= \dfrac{{a.2R\sin B.2R\sin C}}{{2R}} \]
\[ \Leftrightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\].
LG d
\[bc[{b^2} - {c^2}]\cos A + ca[{c^2} - {a^2}]\cos B\] \[ + ab[{a^2} - {b^2}]\cos C = 0\]
Lời giải chi tiết:
Chú ý rằng \[2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\] và từ các công thức tương tự, ta có:
\[\begin{array}{l}bc[{b^2} - {c^2}]\cos A + ca[{c^2} - {a^2}]\cos B + ab[{a^2} - {b^2}]\cos C\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {[{b^2} - {c^2}][{b^2} + {c^2} - {a^2}] + [{c^2} - {a^2}][{c^2} + {a^2} - {b^2}] + [{a^2} - {b^2}][{a^2} + {b^2} - {c^2}]} \right] = 0.\end{array}\]
LG e
Nếu \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC\] thì:
\[B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}\] \[ = A{B^2} + H{C^2}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2} \\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {BC} ^2} - {\overrightarrow {CA} ^2} = {\overrightarrow {BH} ^2} - {\overrightarrow {HA} ^2}\\\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right]\left[ {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} } \right]\\ = \left[ {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HA} } \right]\left[ {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {HA} } \right]\\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} } \right] \\= \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {HA} } \right]. [*]\end{array}\]
Nếu ta gọi \[C\] là chân đường cao hạ từ \[C\] của tam giác \[ABC\] thì vec tơ \[\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} \] và vec tơ \[\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {HA} \] có hình chiếu trên đường thẳng \[BA\] đều là \[\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {C'A} \]. Vậy đẳng thức [*] được chứng minh và do đó
\[B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}\].
Đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.