- LG a
- LG b
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.
LG a
Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý cô sin cho tam giác \[OBE\] để tính \[OE\].
Sử dụng định lý sin trong tam giác để tính bán kính.
Giải chi tiết:
Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:
\[O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} - 2OB.BE.\cos \widehat {OBE}\]
\[O{E^2} = {\left[ {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} + {a^2} - 2\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}.a.\cos {45^0} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\]\[ \Rightarrow OE = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\]
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:
\[{R_{[\Delta OBE]}} = \dfrac{{OE}}{{2\sin \widehat {OBE}}}\]\[ = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}}}{{2\sin {{45}^0}}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}}}{{2\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\]
LG b
Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: \[\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \].
Phương pháp giải:
Xen điểm \[O\] vào biểu thức cần tính tích vô hướng và tính toán, chú ý các mối quan hệ vuông góc.
Giải chi tiết:
\[\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} = \left[ {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right]\left[ {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} } \right]\]
\[ = \left[ {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right]\left[ {\overrightarrow {GO} - \overrightarrow {OA} } \right] = {\overrightarrow {GO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}\] \[ = {\left[ {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} - {\left[ {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} = - 4{a^2}\].