Biết một nguyên hàm của hàm số yfx là 2 fxxx 4 1 khi đó giá trị của hàm số F 3

Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về NGUYÊN HÀM mức độ 2,3 – VẬN DỤNG

\[\text { Đặt }\left\{\begin{array} { l } { u = x } \\ { \mathrm { d } v = \operatorname { c o s } 2 x \mathrm { d } x } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{2} \sin 2 x

\end{array}\right.\right. \text { . }\]

Khi đó:

\[I=\frac{1}{2} x \sin 2 x-\frac{1}{2} \int \sin 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} x \sin 2 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+C\]

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \[y = 3{x^4}\]?

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Họ các nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = {\cos ^2}x\] là:

Cho hàm số $f\left[ x \right] = \dfrac{1}{{x + 2}}$. Hãy chọn mệnh đề sai:

Tìm nguyên hàm của hàm số  \[f[x] = {x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}.\] 

Họ nguyên hàm của hàm số \[y=\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} \] là:

//toanmath.com/ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số [ ] f x xác định trên K [ K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng]. Hàm số [ ] F x được gọi là nguyên hàm của hàm số [ ] f x trên K nếu [ ] [ ] ' F x f x = với mọi xK ∈ . Định lí: 1] Nếu [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số [ ] [ ] Gx F x C = + cũng là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . 2] Nếu [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x trên K thì mọi nguyên hàm của [ ] f x trên K đều có dạng [ ] F x C + , với C là một hằng số. Do đó [ ] , F x C C + ∈  là họ tất cả các nguyên hàm của [ ] f x trên K. Ký hiệu [ ] [ ] x f xd F x C = + ∫ . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: [ ] [ ] [ ] x f x d f x ′ = ∫ và [ ] [ ] 'x f xd f x C = + ∫ Tính chất 2: [ ] [ ] xx kf xd k f xd = ∫∫ với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3: [ ] [ ] [ ] [ ] x xx f x g x d f x d g x d ±= ±   ∫ ∫∫ 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số [ ] f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp [ ] [ ] u ux = x d xC = + ∫ u d uC = + ∫ [ ] 1 1 x1 1 xd x C αα α α + = + ≠− + ∫ [ ] 1 1 u1 1 ud u C αα α α + = + ≠− + ∫ 1 x ln d xC x = + ∫ 1 u ln d uC u = + ∫ x x x e d e C = + ∫ u uu e d e C = + ∫ [ ] x 0, 1 ln x x a ad C a a a = + >≠ ∫ [ ] u 0, 1 ln u u a ad C a a a = + >≠ ∫ //toanmath.com/ sin dx cos x xC = − + ∫ sin du cos u uC = −+ ∫ cos xdx sin xC = + ∫ cos udu sin uC = + ∫ 2 1 x tan cos d xC x = + ∫ 2 1 u tan cos d uC u = + ∫ 2 1 x cot sin d xC x = − + ∫ 2 1 u cot sin d uC u = − + ∫ B - BÀI TẬP DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? [1]: Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có đạo hàm trên [ ] ; ab . [2]: Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . [3]: Mọi hàm số đạo hàm trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . [4]: Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ; ab . A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 . Câu 2. Cho hai hàm số [ ] f x , [ ] gx liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. [ ] [ ] [ ] [ ] d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫∫ . B. [ ] [ ] [ ] [ ] . d d. d f x gx x f x x gx x =     ∫ ∫∫ . C. [ ] [ ] [ ] [ ] d dd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . D. [ ] [ ] dd kf x x k f x x = ∫ ∫ [ ] 0; kk ≠ ∈  . Câu 3. Cho [ ] f x , [ ] gx là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. [ ] [ ] [ ] [ ] d d. d f x g xx f xx g xx = ∫ ∫∫ . B. [ ] [ ] 2 d2 d f x x f x x = ∫∫ . C. [ ] [ ] [ ] [ ] dd d f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫ ∫ . D. [ ] [ ] [ ] [ ] ddd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. [ ] [ ] dd kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈  . B. [ ] [ ] [ ] [ ] d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫ ∫ với [ ] f x ; [ ] gx liên tục trên  . C. 1 1 d 1 xx x αα α + = + ∫ với 1 α ≠− . D. [ ] [ ] [ ] d f x x f x ′ = ∫ . Câu 5. Cho hai hàm số [ ] f x , [ ] gx là hàm số liên tục, có [ ] F x , [ ] Gx lần lượt là nguyên hàm của [ ] f x , [ ] gx . Xét các mệnh đề sau: [ ] I . [ ] [ ] F x Gx + là một nguyên hàm của [ ] [ ] f x gx + . [ ] II . [ ] . k F x là một nguyên hàm của [ ] . kf x với k ∈  . [ ] III . [ ] [ ] . F x Gx là một nguyên hàm của [ ] [ ] . f x gx . Các mệnh đề đúng là //toanmath.com/ A. [ ] II và [ ] III . B. Cả 3 mệnh đề. C. [ ] I và [ ] III . D. [ ] I và [ ] II . Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. [ ] [ ] [ ] [ ] f x g x dx f x dx g x dx −= −   ∫ ∫ ∫ , với mọi hàm số [ ] [ ] , f x gx liên tục trên  . B. [ ] [ ] f x dx f x C ′ = + ∫ với mọi hàm số [ ] f x có đạo hàm trên  . C. [ ] [ ] [ ] [ ] f x g x dx f x dx g x dx + = +   ∫ ∫∫ , với mọi hàm số [ ] [ ] , f x gx liên tục trên  . D. [ ] [ ] kf x dx k f x dx = ∫∫ với mọi hằng số k và với mọi hàm số [ ] f x liên tục trên  . Câu 7. Cho hàm số [ ] f x xác định trên K và [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. [ ] [ ] f x F x ′ = , xK ∀∈ . B. [ ] [ ] F x f x ′ = , xK ∀∈ . C. [ ] [ ] F x f x = , xK ∀∈ . D. [ ] [ ] Fx f x ′′ = , xK ∀∈ . Câu 8. Cho hàm số [ ] f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số [ ] [ ] Gx F x C = + cũng là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . B. Nếu [ ] f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số [ ] F x được gọi là một nguyên hàm của [ ] f x trên K nếu [ ] [ ] F x f x ′ = với mọi xK ∈ . D. Nếu hàm số [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] f x trên K thì hàm số [ ] Fx − là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. Câu 9. Cho [ ] 1 2 f x x = + , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Trên [ ] 2; − +∞ , nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] 1 ln 2 F x x C = + + ; trên khoảng [ ] ; 2 −∞ − , nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] 2 ln 2 F x x C = −− + [ 12 , CC là các hằng số]. B. Trên khoảng [ ] ; 2 −∞ − , một nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] ln 2 3 Gx x = −− − . C. Trên [ ] 2; − +∞ , một nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] ln 2 F x x = + . D. Nếu [ ] F x và [ ] Gx là hai nguyên hàm của của [ ] f x thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? A. cos d sin xx x C = −+ ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. 2 2d xx x C = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. 4 3 d 4 xC xx + = ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. sin d cos x x C x = − ∫ . D. [ ] 2e d 2 e xx x C = + ∫ . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. d2 xx C = + ∫ [ C là hằng số]. B. 1 d 1 n n x x x C n + = + + ∫ [C là hằng số; n ∈  ]. C. 0dx C = ∫ [ C là hằng số]. D. ed e xx xC = − ∫ [ C là hằng số]. //toanmath.com/ Câu 13. Tìm nguyên hàm [ ] 2 d F x x π = ∫ . A. [ ] 2 F x x C π = + . B. [ ] 2 F x x C π = + . C. [ ] 3 3 F x C π = + . D. [ ] 22 2 x F x C π = + . Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] e cos 2018 x f x x =+ + là A. [ ] e sin 2018 x F x x x C =++ + . B. [ ] e sin 2018 x F x x x C =−+ + . C. [ ] e sin 2018 x F x x x =++ . D. [ ] e sin 2018 x F x x C =++ + . Câu 15. Nguyên hàm của hàm số [ ] 3 29 f x x = − là: A. 4 1 9 2 x xC −+ . B. 4 4 9 x xC −+ . C. 4 1 4 xC + . D. 3 49 x xC −+ . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] e e. 4 f x x = + là A. 101376. B. 2 e1 e.xC − + . C. e 1 4 e 1 x xC + ++ + . D. e 1 e. 4 e 1 x xC + ++ + . Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số [ ] 4 2 5 61 f x x x = −+ là A. 3 20 12 x xC −+ . B. 5 3 2 x x xC − ++ . C. 53 20 12 x x xC − ++ . D. 4 2 22 4 x x xC + −+ . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? A. 0dx C = ∫ . B. 5 4 d 5 x xx C = + ∫ . C. 1 d ln x xC x = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Câu 19. Nguyên hàm của hàm số 2 1 3 yx x x = −+ là A. 32 3 ln 32 xx xC − − + . B. 32 2 3 1 32 xx C x − ++ . C. 32 3 ln 32 xx xC − ++ . D. 32 3 ln 32 xx xC − + + . Câu 20. Cho hàm số [ ] 2 2 ab f x xx = + + , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện [ ] 1 1 2 d 2 3ln 2 f x x = − ∫ . Tính T ab = + . A. 1 T = − . B. 2 T = . C. 2 T = − . D. 0 T = . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 25 f x x x = ++ là A. [ ] 32 5 F x x x = ++ . B. [ ] 3 F x x x C = ++ . C. [ ] 32 5 F x x x x C = ++ + . D. [ ] 32 F x x x C = ++ . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số [ ] 5 [] 3 1 fx x = + ? A. [ ] [ ] 6 31 8 18 x F x + = + . B. [ ] [ ] 6 31 2 18 x F x + = − . C. [ ] [ ] 6 31 18 x F x + = . D. [ ] [ ] 6 31 6 x F x + = . //toanmath.com/ Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 2 1 1 3 f x x x = −− là A. 42 3 3 xx C x − + + + . B. 2 2 2xC x − −+ . C. 42 3 3 xx C x ++ −+ . D. 3 1 33 xx C x − −−+ . Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 6 2 11 72 f x x x x = + + − là A. 7 1 ln 2 xx x x + −− . B. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . C. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . D. 7 1 ln 2 x x xC x + −− + . Câu 25. Nguyên hàm của [ ] 32 2 f x x x x = −+ là: A. 43 3 14 43 x x xC −+ + . B. 43 3 1 14 4 33 x x xC − + + . C. 43 3 12 43 x x xC −+ + . D. 43 3 1 12 4 33 x x xC − + + . Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2018 3 f x x x = + là A. 2019 673 x x C ++ . B. 2019 3 2 2019 x xC ++ . C. 2019 1 673 x C x ++ . D. 2017 1 6054 2 xC x + + . Câu 27. Hàm số [ ] tan x Fx e x C =+ + là nguyên hàm của hàm số f[x] nào A. 2 1 [] sin x fx e x = − B. 2 1 [] sin x fx e x = + C. 2 [] 1 cos x x e fx e x −   = +     D. [ ] 2 1 cos x f x e x = + Câu 28. Nếu [ ] 1 d ln 2 f x x x C x =++ ∫ với [ ] 0; x ∈ +∞ thì hàm số [ ] f x là A. [ ] 2 11 . f x xx = −+ B. [ ] 1 . 2 f x x x = + C. [ ] [ ] 2 1 ln 2 . f x x x = + D. [ ] 2 11 . 2 f x xx = −+ Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 1 xx f x x −+ = − . A. 1 1 xC x + + − . B. [ ] 2 1 1 1 C x ++ − . C. 2 ln 1 2 x xC + − + . D. 2 ln 1 x xC + −+ . Câu 30. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 1 3 sin f x x = − là A. [ ] 3 tan F x x x C =−+ . B. [ ] 3 tan F x x x C =+ + . C. [ ] 3 cot F x x x C =++ . D. [ ] 3 cot F x x x C =−+ . Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 3cos f x x x = + trên [ ] 0; +∞ . A. 1 3sin xC x − + + . B. 1 3sin xC x −+ . C. 1 3cos xC x + + . D. 3cos ln x xC ++ . //toanmath.com/ Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 sin f x x x = + là A. 3 cos x xC + + . B. 3 sin x xC ++ . C. 3 cos x xC −+ . D. 3 3 sin x xC −+ . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 [ ] 3 8sin fx x x = + . A. [ ] d 6 8cos f x x x x C =−+ ∫ . B. [ ] d 6 8cos f x x x x C =++ ∫ . C. [ ] 3 d 8cos f x x x x C =−+ ∫ . D. [ ] 3 d 8cos f x x x x C =++ ∫ . Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 cos 2 x f x  =   A. [ ] d sin f x x x x C =++ ∫ . B. [ ] d sin f x x x x C =− + ∫ . C. [ ] 1 d sin 22 x f x x x C =++ ∫ . D. [ ] 1 d sin 22 x f x x x C =−+ ∫ . Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] cos f x x x = + . A. [ ] 2 d sin 2 x f x x x C =++ ∫ . B. [ ] d 1 sin f x x x C =−+ ∫ . C. [ ] d sin cos f x x x x x C = + + ∫ . D. [ ] 2 d sin 2 x f x x x C =−+ ∫ . Câu 36. [ ] 23 2 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 2 . B. 1. C. 9 . D. 32 . Câu 37. 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 1. B. 12 . C. [ ] 36 13 5 + . D. Không tồn tại. Câu 38. [ ] [ ] 32 21 a x bx dx ++ ∫ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Biết rằng [ ] [ ] 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ . Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 1; 3. B. 3; 1. C. 1 ;1 8 − . D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] f x thỏa mãn điều kiện: [ ]23cos, 3 2 f x x xF π  = − =   A. 2 2 [ ] 3sin 6 4 Fx x x π = − ++ B. 2 2 [ ] 3sin 4 Fx x x π =−− C. 2 2 [ ] 3sin 4 Fx x x π =−+ D. 2 2 [ ] 3sin 6 4 Fx x x π = − +− Câu 40. Một nguyên hàm F[x] của hàm số 2 1 [] 2 sin fx x x = + thỏa mãn F[ ] 1 4 π = − là: A. 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = − +− B. 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = −+ C. 2 F[ ] ot x cx x = −+ D. 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = − +− //toanmath.com/ Câu 41. Nếu 2 [ ] sin x f x dx e x C =++ ∫ thì [] fx là hàm nào? A. 2 cos x ex + B. sin 2 x ex − C. cos 2 x ex + D. sin 2 x e x + Câu 42. Tìm một nguyên hàm F[x] của 3 2 1 [] x fx x − = biết F[1] = 0 A. 2 11 [] 22 x Fx x = −+ B. 2 13 [] 22 x Fx x = + + C. 2 11 [] 2 2 x Fx x = −− D. 2 13 [x] 22 x F x = + − Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số 23 [] fx x x = + là : A. 4 3ln x xC ++ . B. 2 3ln x xC ++ . C. [ ] 1 4 3ln x xC − ++ . D. 16 3ln x xC −+ . Câu 44. Tính 3 2 4 [] x dx x + ∫ A. 3 5 3 4ln 5 x xC − + + . B. 3 5 3 4ln 5 x xC − + . C. 3 5 5 4ln 3 x xC ++ . D. 3 5 3 4ln 5 x xC ++ . Câu 45. Nguyên hàm F[x] của hàm số 32 [] 4 3 2 2 fx x x x = − +− thỏa mãn F[1] 9 = là: A. 43 2 F[ ] 2 x x xx = −+ − . B. 43 2 F[ ] 10 x x xx = −+ + . C. 43 2 F[ ] 2 x x xx x = −+ − . D. 43 2 F[ ] 2 10 x x xx x = −+ − + . Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số 5 [2 1] yx = + là: A. 6 1 [2 1] 12 xC ++ . B. 6 1 [2 1] 6 xC ++ . C. 6 1 [2 1] 2 xC ++ . D. 4 10[2 1] x C + + . Câu 47. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 23 24 f x x x = +− thỏa mãn điều kiện [ ] 00 F = là A. 34 24 xx − . B. 4 3 2 4 34 x xx +− . C. 34 2 xx x −+ . D. Đáp án khác. Câu 48. Tìm hàm số F[x] biết rằng [ ] 32 ’ 4 –3 2 Fx x x = + và [ ] 13 F − = A. [ ] 43 – 23 F x x x x = −− B. [ ] 43 3 + –2 F x x x x = + C. [ ] 43 – 23 F x x x x = −+ D. [ ] 43 23 F x x x x = ++ + Câu 49. Hàm số [ ] f x xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là [ ] 1 fx x ′ = − . Biết rằng [ ] 03 f = . Tính [ ] [ ] 24 f f + ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. Câu 50. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện [ ] sin fx x x ′ = + và [ ] 01 f = . Tìm [ ] f x . A. [ ] 2 cos 2 2 x f x x =−+ . B. [ ] 2 cos 2 2 x f x x =−− . C. [ ] 2 cos 2 x f x x = + . D. [ ] 2 1 cos 22 x f x x =+ + . //toanmath.com/ Câu 51. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn [ ] 3 5cos fx x ′ = − và [ ] 05 f = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] 3 5sin 2 f x x x =++ . B. [ ] 3 5sin 5 f x x x =−− . C. [ ] 3 5sin 5 f x x x =−+ . D. [ ] 3 5sin 5 f x x x =++ . Câu 52. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của của hàm số [ ] sin f x x = và đồ thị hàm số [ ] y F x = đi qua điểm [ ] 0;1 M . Tính . 2 F π    A. 2 2 F π  =   . B. 1 2 F π  = −   . C. 0 2 F π  =   . D. 1 2 F π  =   . Câu 53. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 23 f x x x = −+ thỏa mãn [ ] 02 F = , giá trị của [ ] 1 F bằng A. 4 . B. 13 3 . C. 2 . D. 11 3 . Câu 54. Tìm một nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] [ ] 2 0 b f x ax x x =+≠ , biết rằng [ ] 11 F − = , [ ] 14 F = , [ ] 10 f = . A. [ ] 2 3 37 42 4 x F x x = ++ . B. [ ] 2 3 37 42 4 x F x x = − − . C. [ ] 2 3 37 24 4 x F x x = +− . D. [ ] 2 3 31 22 2 x F x x = − − . Câu 55. Biết hàm số [ ] y f x = có [ ] 2 32 1 f x x xm ′ = + − + , [ ] 21 f = và đồ thị của hàm số [ ] y f x = cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 − . Hàm số [ ] f x là A. 32 35 xx x +− − . B. 32 2 55 x xx + − − . C. 32 2 75 xx x +− − . D. 32 45 xx x ++ − . Câu 56. Gọi [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 2 23 f x x = − thỏa mãn [ ] 1 0 3 F = . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] 2 log 3 1 2 2 FF −   bằng A. 10 . B. 4 − . C. 4 . D. 2 . Câu 57. Gọi [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 3 42 1 5 f x x m x m = + − ++ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của [ ] f x biết rằng [ ] 18 F = và [ ] 01 F = là: A. [ ] 42 2 6 1 F x x x x = + ++ B. [ ] 4 6 1 F x x x = ++ . C. [ ] 42 21 F x x x =+ + . D. Đáp án A và B //toanmath.com/ C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? [1]: Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có đạo hàm trên [ ] ; ab . [2]: Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . [3]: Mọi hàm số đạo hàm trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . [4]: Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ; ab . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Khẳng định [1]: Sai, vì hàm số yx = liện tục trên [ ] 1;1 − nhưng không có đạo hàm tại 0 x = nên không thể có đạo hàm trên [ ] 1;1 − Khẳng định [2]: đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . Khẳng định [3]: Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên [ ] ; ab thì đều liên tục trên [ ] ; ab nên đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . Khẳng định [4]: Đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ; ab . Câu 2. Cho hai hàm số [ ] f x , [ ] gx liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. [ ] [ ] [ ] [ ] d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫ ∫ . B. [ ] [ ] [ ] [ ] . d d. d f x gx x f x x gx x =     ∫ ∫∫ . C. [ ] [ ] [ ] [ ] d dd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . D. [ ] [ ] dd kf x x k f x x = ∫ ∫ [ ] 0; kk ≠ ∈  . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 3. Cho [ ] f x , [ ] gx là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. [ ] [ ] [ ] [ ] d d. d f x g xx f xx g xx = ∫ ∫∫ . B. [ ] [ ] 2 d2 d f x x f x x = ∫∫ . C. [ ] [ ] [ ] [ ] dd d f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫∫ . D. [ ] [ ] [ ] [ ] ddd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. [ ] [ ] dd kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈  . B. [ ] [ ] [ ] [ ] d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫∫ với [ ] f x ; [ ] gx liên tục trên  . C. 1 1 d 1 xx x αα α + = + ∫ với 1 α ≠− . D. [ ] [ ] [ ] d f x x f x ′ = ∫ . //toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] [ ] dd kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈  sai vì tính chất đúng khi { } \ 0 k ∈  . Câu 5. Cho hai hàm số [ ] f x , [ ] gx là hàm số liên tục, có [ ] F x , [ ] Gx lần lượt là nguyên hàm của [ ] f x , [ ] gx . Xét các mệnh đề sau: [ ] I . [ ] [ ] F x Gx + là một nguyên hàm của [ ] [ ] f x gx + . [ ] II . [ ] . k F x là một nguyên hàm của [ ] . kf x với k ∈  . [ ] III . [ ] [ ] . F x Gx là một nguyên hàm của [ ] [ ] . f x gx . Các mệnh đề đúng là A. [ ] II và [ ] III . B. Cả 3 mệnh đề. C. [ ] I và [ ] III . D. [ ] I và [ ] II . Hướng dẫn giải Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì [ ] I và [ ] II là đúng, [ ] III sai. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. [ ] [ ] [ ] [ ] f x g x dx f x dx g x dx −= −   ∫ ∫ ∫ , với mọi hàm số [ ] [ ] , f x gx liên tục trên  . B. [ ] [ ] f x dx f x C ′ = + ∫ với mọi hàm số [ ] f x có đạo hàm trên  . C. [ ] [ ] [ ] [ ] f x g x dx f x dx g x dx + = +   ∫ ∫∫ , với mọi hàm số [ ] [ ] , f x gx liên tục trên  . D. [ ] [ ] kf x dx k f x dx = ∫∫ với mọi hằng số k và với mọi hàm số [ ] f x liên tục trên  . Hướng dẫn giải Chọn D Mệnh đề: [ ] [ ] kf x dx k f x dx = ∫∫ với mọi hằng số k và với mọi hàm số [ ] f x liên tục trên  là mệnh đề sai vì khi 0 k = thì [ ] [ ] kf x dx k f x dx ≠ ∫∫ . Câu 7. Cho hàm số [ ] f x xác định trên K và [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. [ ] [ ] f x F x ′ = , xK ∀∈ . B. [ ] [ ] F x f x ′ = , xK ∀∈ . C. [ ] [ ] F x f x = , xK ∀∈ . D. [ ] [ ] Fx f x ′′ = , xK ∀∈ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] [ ] d F x f x x = ∫ , xK ∀∈ [ ] [ ] F x f x ′ ⇒=   , xK ∀∈ . Câu 8. Cho hàm số [ ] f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số [ ] [ ] Gx F x C = + cũng là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . B. Nếu [ ] f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số [ ] F x được gọi là một nguyên hàm của [ ] f x trên K nếu [ ] [ ] F x f x ′ = với mọi xK ∈ . D. Nếu hàm số [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] f x trên K thì hàm số [ ] Fx − là một nguyên hàm của [ ] f x trên K . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. //toanmath.com/ Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. //toanmath.com/ DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. Câu 9. Cho [ ] 1 2 f x x = + , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Trên [ ] 2; − +∞ , nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] 1 ln 2 F x x C = + + ; trên khoảng [ ] ; 2 −∞ − , nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] 2 ln 2 F x x C = −− + [ 12 , CC là các hằng số]. B. Trên khoảng [ ] ; 2 −∞ − , một nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] ln 2 3 Gx x = −− − . C. Trên [ ] 2; − +∞ , một nguyên hàm của hàm số [ ] f x là [ ] [ ] ln 2 F x x = + . D. Nếu [ ] F x và [ ] Gx là hai nguyên hàm của của [ ] f x thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D D sai vì [ ] [ ] ln 2 F x x = + và [ ] [ ] ln 2 3 Gx x = −− − đều là các nguyên hàm của hàm số [ ] f x nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? A. cos d sin xx x C = −+ ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. 2 2d xx x C = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có cos d sin xx x C = + ∫ ⇒ A sai. Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. 4 3 d 4 xC xx + = ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. sin d cos x x C x = − ∫ . D. [ ] 2e d 2 e xx x C = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1 d ln x xC x = + ∫ . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. d2 xx C = + ∫ [ C là hằng số]. B. 1 d 1 n n x x x C n + = + + ∫ [C là hằng số; n ∈  ]. C. 0dx C = ∫ [ C là hằng số]. D. ed e xx xC = − ∫ [ C là hằng số]. Hướng dẫn giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện 1 n ≠− . Câu 13. Tìm nguyên hàm [ ] 2 d F x x π = ∫ . A. [ ] 2 F x x C π = + . B. [ ] 2 F x x C π = + . C. [ ] 3 3 F x C π = + . D. [ ] 22 2 x F x C π = + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] 22 d F x x x C ππ = = + ∫ [vì 2 π là hằng số]. Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] e cos 2018 x f x x =+ + là //toanmath.com/ A. [ ] e sin 2018 x F x x x C =++ + . B. [ ] e sin 2018 x F x x x C =−+ + . C. [ ] e sin 2018 x F x x x =++ . D. [ ] e sin 2018 x F x x C =++ + . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 15. Nguyên hàm của hàm số [ ] 3 29 f x x = − là: A. 4 1 9 2 x xC −+ . B. 4 4 9 x xC −+ . C. 4 1 4 xC + . D. 3 49 x xC −+ . Hướng dẫn giải Chọn A [ ] 3 2 9d xx − ∫ 4 2. 9 4 x xC = −+ 4 9 2 x xC = −+ . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] e e. 4 f x x = + là A. 101376. B. 2 e1 e.xC − + . C. e 1 4 e 1 x xC + ++ + . D. e 1 e. 4 e 1 x xC + ++ + . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] [ ] e 1 e e. d e. 4 d 4 e 1 x f x x x x x C + = + = ++ + ∫∫ . Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số [ ] 4 2 5 61 f x x x = −+ là A. 3 20 12 x xC −+ . B. 5 3 2 x x xC − ++ . C. 53 20 12 x x xC − ++ . D. 4 2 22 4 x x xC + −+ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] 4 2 5 3 5 6 1 d 2 x x x x x xC − + = − ++ ∫ . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? A. 0dx C = ∫ . B. 5 4 d 5 x xx C = + ∫ . C. 1 d ln x xC x = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 1 d ln x xC x = + ∫ ⇒ C sai. Câu 19. Nguyên hàm của hàm số 2 1 3 yx x x = −+ là A. 32 3 ln 32 xx xC − − + . B. 32 2 3 1 32 xx C x − ++ . C. 32 3 ln 32 xx xC − ++ . D. 32 3 ln 32 xx xC − + + . Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng công thức nguyên hàm ta có 32 2 13 3 d ln 32 xx x x x xC x  −+ = − + +   ∫ . //toanmath.com/ Câu 20. Cho hàm số [ ] 2 2 ab f x xx = + + , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện [ ] 1 1 2 d 2 3ln 2 f x x = − ∫ . Tính T ab = + . A. 1 T = − . B. 2 T = . C. 2 T = − . D. 0 T = . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] 1 1 2 d f x x = ∫ 1 2 1 2 2d ab x xx   + +     ∫ 1 1 2 ln 2 a bx x x  =−+ +   1 ln 2 ab = ++ . Theo giả thiết, ta có 2 3ln 2 1 ln 2 ab − = ++ . Từ đó suy ra 1 a = , 3 b = − . Vậy 2 T ab =+ =− . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 25 f x x x = ++ là A. [ ] 32 5 F x x x = ++ . B. [ ] 3 F x x x C = ++ . C. [ ] 32 5 F x x x x C = ++ + . D. [ ] 32 F x x x C = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 25 f x x x = ++ là [ ] 32 5 F x x x x C = ++ + . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số [ ] 5 [] 3 1 fx x = + ? A. [ ] [ ] 6 31 8 18 x F x + = + . B. [ ] [ ] 6 31 2 18 x F x + = − . C. [ ] [ ] 6 31 18 x F x + = . D. [ ] [ ] 6 31 6 x F x + = . Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng [ ] [ ] 1 1 d 1 ax b ax b x C a α α α + + + = + + ∫ với 1 α ≠− và C là hằng số. Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 2 1 1 3 f x x x = −− là A. 42 3 3 xx C x − + + + . B. 2 2 2xC x − −+ . C. 42 3 3 xx C x ++ −+ . D. 3 1 33 xx C x − −−+ . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2 2 1 1 d 3 xx x  −−   ∫ 22 1 d 3 xx x −  = −−   ∫ 3 1 33 xx C x = −− − + . Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 6 2 11 72 f x x x x = + + − là A. 7 1 ln 2 xx x x + −− . B. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . //toanmath.com/ C. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . D. 7 1 ln 2 x x xC x + −− + . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] d f x x ∫ 7 1 ln 2 x x xC x = + −− + . Câu 25. Nguyên hàm của [ ] 32 2 f x x x x = −+ là: A. 43 3 14 43 x x xC −+ + . B. 43 3 1 14 4 33 x x xC − + + . C. 43 3 12 43 x x xC −+ + . D. 43 3 1 12 4 33 x x xC − + + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 32 4 3 3 1 14 2 4 33 x x x dx x x x C −+ = − + + ∫ . Chọn A Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2018 3 f x x x = + là A. 2019 673 x x C ++ . B. 2019 3 2 2019 x xC ++ . C. 2019 1 673 x C x ++ . D. 2017 1 6054 2 xC x + + . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] 2018 3d x x x + ∫ 1 2018 2 3d xx x  = +   ∫ 3 2019 2 3. 3 2019 2 xx C = ++ 2019 3 2 2019 x xC = ++ . Câu 27. Hàm số [ ] tan x Fx e x C =+ + là nguyên hàm của hàm số f[x] nào A. 2 1 [] sin x fx e x = − B. 2 1 [] sin x fx e x = + C. 2 [] 1 cos x x e fx e x −   = +     D. [ ] 2 1 cos x f x e x = + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 1 tan cos x x e xC e x ′ + + =+ . Chọn D Câu 28. Nếu [ ] 1 d ln 2 f x x x C x =++ ∫ với [ ] 0; x ∈ +∞ thì hàm số [ ] f x là A. [ ] 2 11 . f x xx = −+ B. [ ] 1 . 2 f x x x = + C. [ ] [ ] 2 1 ln 2 . f x x x = + D. [ ] 2 11 . 2 f x xx = −+ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] d f x x F x C F x f x ′ = +⇒ = ∫ //toanmath.com/ Do đó [ ] [ ] [ ] 22 2 1 1 1 11 ln 2 ln 2 2 x f x x x x x x x xx ′ ′′    ′ =+ = + = −+ = −+       với [ ] 0; x ∈ +∞ . Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 1 xx f x x −+ = − . A. 1 1 xC x + + − . B. [ ] 2 1 1 1 C x ++ − . C. 2 ln 1 2 x xC + − + . D. 2 ln 1 x xC + −+ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] 2 11 11 xx f x x xx −+ = = + − − [ ] 2 d ln 1 2 x f x x x C ⇒ = + −+ ∫ . Câu 30. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 1 3 sin f x x = − là A. [ ] 3 tan F x x x C =−+ . B. [ ] 3 tan F x x x C =+ + . C. [ ] 3 cot F x x x C =++ . D. [ ] 3 cot F x x x C =−+ . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 3 sin f x x = − là [ ] 3 cot F x x x C =++ . Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 3cos f x x x = + trên [ ] 0; +∞ . A. 1 3sin xC x − + + . B. 1 3sin xC x −+ . C. 1 3cos xC x + + . D. 3cos ln x xC ++ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] 2 11 d 3cos d 3sin b a f x x x x x C xx  = + = −+   ∫∫ . Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 sin f x x x = + là A. 3 cos x xC + + . B. 3 sin x xC ++ . C. 3 cos x xC −+ . D. 3 3 sin x xC −+ . Hướng dẫn giải Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 sin f x x x = + là 3 cos x xC −+ . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 [ ] 3 8sin fx x x = + . A. [ ] d 6 8cos f x x x x C =−+ ∫ . B. [ ] d 6 8cos f x x x x C =++ ∫ . C. [ ] 3 d 8cos f x x x x C =−+ ∫ . D. [ ] 3 d 8cos f x x x x C =++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: [ ] d f x x ∫ [ ] 2 3 8sin d x x x = + ∫ 3 8cos x xC =−+ . Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 cos 2 x f x  =   A. [ ] d sin f x x x x C =++ ∫ . B. [ ] d sin f x x x x C =− + ∫ . //toanmath.com/ C. [ ] 1 d sin 22 x f x x x C =++ ∫ . D. [ ] 1 d sin 22 x f x x x C =−+ ∫ . Lời giải Chọn C Ta có [ ] 1 cos 1 d d sin 2 22 xx f x x x x C + = =++   ∫∫ . Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] cos f x x x = + . A. [ ] 2 d sin 2 x f x x x C =++ ∫ . B. [ ] d 1 sin f x x x C =−+ ∫ . C. [ ] d sin cos f x x x x x C = + + ∫ . D. [ ] 2 d sin 2 x f x x x C =−+ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A [ ] [ ] 2 d cos d sin 2 x f xx x xx x C = + =++ ∫∫ . Câu 36. [ ] 23 2 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 2 . B. 1. C. 9. D. 32. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm [ ] 23 2 x x dx + ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: [ ] 23 3 4 11 2 32 x x dx x x C + = ++ ∫ . Suy ra để [ ] 23 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ thì 1, 2. ab = = Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3 4 34 ab x xC ++ . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm của 3 4 34 ab x xC ++ . Ví dụ: A. Thay 2 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 2 3 4 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 2 3 4 b x xC ++ : 3 4 23 2 2 3 4 b x xC xbx ′   + += +     , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 22 , x x x bx x + = + ∀∈  nên ta loại đáp án A B. Thay 1 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 1 34 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 1 34 b x xC ++ : 3 4 23 1 34 b x xC xbx ′  + +=+   , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 22 , x x x bx x + = + ∀∈  [ cụ thể 2 b = ∈  ] nên ta nhận đáp án B //toanmath.com/ C. Thay 9 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 3 4 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 b x xC ++ : 3 4 23 39 4 b x xC xbx ′   + += +     , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 92 2 , x x x bx x + = + ∀∈  nên ta loại đáp án C D. Thay 32 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 32 34 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 32 34 b x xC ++ : 3 4 23 32 32 34 b x xC xbx ′  + += +   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 32 2 2 , x x x bx x + = + ∀∈  nên ta loại đáp án D Chú ý: Ta chỉ cần so sánh hệ số của 2 x ở 2 vế của đẳng thức 2 3 23 22 x x x bx + = + ; 2 3 23 92 2 x x x bx + = + ; 2 3 23 32 2 2 x x x bx + = + và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: [ ] 2 3 34 2 38 x x dx x x C + = ++ ∫ . Vì thế, 9 a = để [ ] 2 3 34 2 38 x x dx x x C + = ++ ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ . Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: [ ] 2 3 34 2 38 x x dx x x C + = ++ ∫ . Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . Để [ ] 23 2 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ thì 32 b = . Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm. Câu 37. 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 1. B. 12 . C. [ ] 36 13 5 + . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: //toanmath.com/ 35 4 6 1 13 1 13 3 5 12 30 x x dx x x C  ++ + =++    ∫ . Suy ra để 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ thì 13 1, . 5 ab + =∈ = ∉  Chọn D Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 4 6 12 6 ab x xC ++ . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm của 4 6 12 6 ab x xC ++ . Ví dụ: A. Thay 1 a = vào 4 6 12 6 ab x xC ++ ta được 4 6 1 12 6 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 4 6 1 12 6 b x xC ++ : 4 6 35 11 12 6 3 b x x C x bx ′  + += +   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 5 35 1 13 1 , 35 3 x x x bx x + + = + ∀∈  nên ta loại đáp ánA. B. Thay 12 a = vào 4 6 12 6 ab x xC ++ ta được 4 6 6 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 4 6 6 b x xC ++ : 4 6 35 4 6 b x x C x bx ′  + += +   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 5 35 1 13 4, 35 x x x bx x + + = + ∀∈  nên ta loại đáp án B C. Loại đáp án C Ta có thể loại nhanh đáp án C vì [ ] 36 13 5 +∉  và a ∈  . Vậy đáp án chính xác là đáp án D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a [ không tìm giá trị của b ].Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau: [ ] 3 5 4 64 6 61 3 1 13 1 13 36 35 3 5 5 x x dx x xC x xC +  ++ + =⋅ +⋅ + = + +    ∫ . Vì thế, 12 a = để [ ] 3 54 6 61 3 1 13 35 5 x x dx x x C +  + + = ++    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ . Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do không đọc kĩ yêu cầu bài toán: //toanmath.com/ [ ] 3 5 4 64 6 61 3 1 13 1 13 36 35 3 5 5 x x dx x xC x xC +  ++ + =⋅ +⋅ + = + +    ∫ . Vì thế, [ ] 36 13 5 b = + để [ ] 3 54 6 61 3 1 13 35 5 x x dx x x C +  + + = ++    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ . Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 38. [ ] [ ] 32 21 a x bx dx ++ ∫ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Biết rằng [ ] [ ] 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ . Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 1; 3. B. 3; 1. C. 1 ;1 8 − . D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Hướng dẫn giải Cách 1: Ta cần tìm [ ] [ ] 32 21 a x bx dx ++ ∫ . Ta có: [ ] [ ] [ ] 32 4 3 11 21 21 43 a x bx dx a x bx C ++ = + + + ∫ . Vì ta có giả thiết [ ] [ ] 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ nên [ ] 43 11 21 43 a x bx C ++ + có dạng 43 3 4 x xC ++ . Để [ ] 43 11 21 43 a x bx C ++ + có dạng 43 3 4 x xC ++ thì [ ] 1 3 21 44 1 1 3 a b  + =     =   , nghĩa là 1 3 a b =   =  . Vậy đáp án chính xác là đáp ánA. Cách 2: Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a ∈  . Tiếp theo, ta thay giá trị , ab ở các đáp án A, B vào [ ] [ ] 32 21 a x bx dx ++ ∫ và tìm [ ] [ ] 32 21 a x bx dx ++ ∫ . Ta có: [ ] 3 2 43 3 33 4 x x dx x x C + = ++ ∫ nên đáp án chính xác là đáp ánA. Chú ý: Giả sử các giá trị , ab ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác là Chọn D. Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ: Ta có: //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] 32 43 21 21 a x bx dx a x bx C + + = + ++ ∫ . Vì ta có giả thiết [ ] [ ] 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ nên [ ] 43 21 a x bx C + ++ có dạng 43 3 4 x xC ++ . Để [ ] 43 11 21 43 a x bx C ++ + có dạng 43 3 4 x xC ++ thì [ ] 3 21 4 1 a b  + =    =  , nghĩa là 1 8 1 a b  = −    =  . Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] f x thỏa mãn điều kiện: [ ]23cos, 3 2 f x x xF π  = − =   A. 2 2 [ ] 3sin 6 4 Fx x x π = − ++ B. 2 2 [ ] 3sin 4 Fx x x π =−− C. 2 2 [ ] 3sin 4 Fx x x π =−+ D. 2 2 [ ] 3sin 6 4 Fx x x π = − +− Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2 2 3cos 3sin F x x x dx x x C =− =−+ ∫ 2 2 3 3sin 3 6 2 22 4 F CC π ππ π   = ⇔ − += ⇔ = −     Vậy 2 2 [ ] 3sin 6 4 Fx x x π = − +− Chọn D Câu 40. Một nguyên hàm F[x] của hàm số 2 1 [] 2 sin fx x x = + thỏa mãn F[ ] 1 4 π = − là: A. 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = − +− B. 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = −+ C. 2 F[ ] ot x cx x = −+ D. 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = − +− Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 1 2 cot sin F x x dx x x C x   = + =−+     ∫ 2 2 1 cot 1 4 4 4 16 F C C π ππ π   =− ⇔ − + =− ⇔ =     Vậy 2 2 F[ ] ot 16 x cx x π = − +− Chọn A Câu 41. Nếu 2 [ ] sin x f x dx e x C =++ ∫ thì [] fx là hàm nào? A. 2 cos x ex + B. sin 2 x ex − C. cos 2 x ex + D. sin 2 x e x + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 sin sin 2 xx e xC e x ′ + + =+ Chọn D //toanmath.com/ Câu 42. Tìm một nguyên hàm F[x] của 3 2 1 [] x fx x − = biết F[1] = 0 A. 2 11 [] 22 x Fx x = −+ B. 2 13 [] 22 x Fx x = + + C. 2 11 [] 2 2 x Fx x = −− D. 2 13 [x] 22 x F x = + − Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 32 22 11 1 2 xx F x dx x dx C x xx −  = = − = + +   ∫∫ [ ] 2 11 3 10 0 21 2 F CC − = ⇔ + + = ⇔ = Vậy 2 13 [x] 22 x F x = + − Chọn D Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số 23 [] fx x x = + là : A. 4 3ln x xC ++ . B. 2 3ln x xC ++ . C. [ ] 1 4 3ln x xC − ++ . D. 16 3ln x xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: 23 4 3ln dx x x C x x   + = + +     ∫ . Chọn A Câu 44. Tính 3 2 4 [] x dx x + ∫ A. 3 5 3 4ln 5 x xC − + + . B. 3 5 3 4ln 5 x xC − + . C. 3 5 5 4ln 3 x xC ++ . D. 3 5 3 4ln 5 x xC ++ . Hướng dẫn giải Ta có: 3 5 3 2 43 4ln 5 x x dx x C x  + = + +   ∫ . Chọn D Câu 45. Nguyên hàm F[x] của hàm số 32 [] 4 3 2 2 fx x x x = − +− thỏa mãn F[1] 9 = là: A. 43 2 F[ ] 2 x x xx = −+ − . B. 43 2 F[ ] 10 x x xx = −+ + . C. 43 2 F[ ] 2 x x xx x = −+ − . D. 43 2 F[ ] 2 10 x x xx x = −+ − + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 3 2 43 2 4 3 22 2 F x x x x dx x x x x C = − + − = −+ − + ∫ [ ] 43 2 4 3 2 1 9 1 1 1 2.1 9 10 F[ ] 2 10 F C C x x xx x = ⇔ − + − + = ⇔ = ⇒ = − + − + . Chọn D Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số 5 [2 1] yx = + là: A. 6 1 [2 1] 12 xC ++ . B. 6 1 [2 1] 6 xC ++ . //toanmath.com/ C. 6 1 [2 1] 2 xC ++ . D. 4 10[2 1] x C + + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] [ ] 6 56 2 1 11 2 1 . 2 1 2 6 12 x x dx x C + + = = ++ ∫ . Chọn A Câu 47. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 23 24 f x x x = +− thỏa mãn điều kiện [ ] 00 F = là A. 34 24 xx − . B. 4 3 2 4 34 x xx +− . C. 34 2 xx x −+ . D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 34 23 2 24 4 34 x x F x x x dx x C = +− = + − + ∫ [ ] [ ] 34 4 3 2.0 0 2 00 0 0 4 34 3 4 x F C C F x x x = ⇔ + += ⇔ = ⇒ = + − . Chọn D Câu 48. Tìm hàm số F[x] biết rằng [ ] 32 ’ 4 –3 2 Fx x x = + và [ ] 13 F − = A. [ ] 43 – 23 F x x x x = −− B. [ ] 43 3 + –2 F x x x x = + C. [ ] 43 – 23 F x x x x = −+ D. [ ] 43 23 F x x x x = ++ + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] [ ] 3 2 43 x 4x 3x 2 x 2x F x F xd d x x C ′ = = − + = −+ + ∫∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 43 1 3 1 1 2. 1 3 3 F CC − = ⇔ − −− + − + = ⇔ = Vậy [ ] 43 3 + –2 F x x x x = + Chọn B Câu 49. 1 7 THàm số [ ] f x xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là [ ] 1 fx x ′ = − . Biết rằng [ ] 03 f = . Tính [ ] [ ] 24 f f + ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] [ ] 1 khi 1 1 khi 1 xx fx xx − ≥  ′ =  −− <  . Khi 1 x ≥ thì [ ] [ ] 2 1 1d 2 x f x x x x C = − = −+ ∫ . Khi 1 x < thì [ ] [ ] 2 2 1d 2 x f x x x x C  = − − = − −+   ∫ . Theo đề bài ta có [ ] 03 f = 1 7 T nên 2 3 C = [ ] 2 3 2 x f x x  ⇒ = − −+   1 7 T khi 1 x < . Mặt khác do hàm số [ ] f x liên tục tại 1 x = nên [ ] [ ] [ ] 11 lim lim 1 xx f x f x f −+ →→ = = 22 1 1 1 lim 3 lim 22 x x x x x xC −+ → →      ⇔ − −+ = −+           1 1 1 13 1 2 2 C   ⇔− − + = − +     1 4 C ⇔ = . Vậy khi 1 x ≥ thì [ ] 2 4 2 x f x x = −+ [ ] [ ] 2 4 12 f f ⇒+ = . //toanmath.com/ Câu 50. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện [ ] sin fx x x ′ = + và [ ] 01 f = . Tìm [ ] f x . A. [ ] 2 cos 2 2 x f x x =−+ . B. [ ] 2 cos 2 2 x f x x =−− . C. [ ] 2 cos 2 x f x x = + . D. [ ] 2 1 cos 22 x f x x =+ + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] sin fx x x ′ = + [ ] 2 cos 2 x f x x C ⇒ =−+ ; [ ] 01 f = 11 C ⇔− + = 2 C ⇔= . Vậy [ ] 2 cos 2 2 x f x x =−+ . Câu 51. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn [ ] 3 5cos fx x ′ = − và [ ] 05 f = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. [ ] 3 5sin 2 f x x x =++ . B. [ ] 3 5sin 5 f x x x =−− . C. [ ] 3 5sin 5 f x x x =−+ . D. [ ] 3 5sin 5 f x x x =++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] 3 5cos d 3 5sin f x x x x x C =− =−+ ∫ . Lại có: [ ] 0 5 3.0 5sin 0 5 5 f CC = ⇔ − += ⇔ = . Vậy [ ] 3 5sin 5 f x x x =−+ . Câu 52. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của của hàm số [ ] sin f x x = và đồ thị hàm số [ ] y F x = đi qua điểm [ ] 0;1 M . Tính . 2 F π    A. 2 2 F π  =   . B. 1 2 F π  = −   . C. 0 2 F π  =   . D. 1 2 F π  =   . Hướng dẫn giải Chọn A * Ta có [ ] cos F x x C = − + , với C là hằng số tùy ý. * Đồ thị hàm số [ ] y F x = đi qua điểm [ ] 0;1 M nên 1 cos 0 C = −+ 2 C ⇔= [ ] cos 2 F x x ⇒ = − + . Do đó 2 2 F π  =   . Câu 53. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 23 f x x x = −+ thỏa mãn [ ] 02 F = , giá trị của [ ] 1 F bằng A. 4 . B. 13 3 . C. 2 . D. 11 3 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 3 22 2 3d 3 3 x x x x x xC − + = −+ + ∫ . [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x có [ ] 02 F = 2 C ⇒= . Vậy [ ] 3 2 32 3 x F x x x = −+ + [ ] 13 1 3 F ⇒= . //toanmath.com/ Câu 54. Tìm một nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] [ ] 2 0 b f x ax x x =+≠ , biết rằng [ ] 11 F − = , [ ] 14 F = , [ ] 10 f = . A. [ ] 2 3 37 42 4 x F x x = ++ . B. [ ] 2 3 37 42 4 x F x x = − − . C. [ ] 2 3 37 24 4 x F x x = +− . D. [ ] 2 3 31 22 2 x F x x = − − . Hướng dẫn giải Chọn A . [ ] [ ] [ ] 21 2 2 2 dd d 21 2 b ax bx ax b F x f x x ax x ax bx x C C xx − −   = = + = + = + + = −+   −   ∫∫ ∫ Ta có: [ ] [ ] [ ] 3 1 22 11 3 14 4 . 22 10 07 4 a bC a F a F bC b f ab C  ++ = =  − =     = ⇔ − + =⇔ =−     =  + =  =   Vậy [ ] 2 3 37 42 4 x F x x = ++ . Câu 55. Biết hàm số [ ] y f x = có [ ] 2 32 1 f x x xm ′ = + − + , [ ] 21 f = và đồ thị của hàm số [ ] y f x = cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 − . Hàm số [ ] f x là A. 32 35 xx x +− − . B. 32 2 55 x xx + − − . C. 32 2 75 xx x +− − . D. 32 45 xx x ++ − . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] [ ] [ ] 2 32 3 2 1 d 1 f x x x m x x x mx C = + − + = + +− + ∫ . Theo đề bài, ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 32 21 2 1 12 1 4 35 5 05 5 f m C m f x x x x C f C =  − ++ =  =   ⇒ ⇒ ⇒ = +− −   = − = − = −      . Câu 56. Gọi [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 2 23 f x x = − thỏa mãn [ ] 1 0 3 F = . Giá trị của biểu thức [ ] [ ] 2 log 3 1 2 2 FF −   bằng A. 10 . B. 4 − . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: [ ] [ ] 31 2 2 FF − [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 31 2 2 0 0 F F FFF = − + −+     [ ] [ ] 12 2 0 1 3d d 3 f x x f x x = ++ ∫∫ 4 = . [ ] [ ] 22 log 3 1 2 2 log 4 2 FF ⇒ −= =   . Câu 57. Gọi [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 3 42 1 5 f x x m x m = + − ++ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của [ ] f x biết rằng [ ] 18 F = và [ ] 01 F = là: A. [ ] 42 2 6 1 F x x x x = + ++ B. [ ] 4 6 1 F x x x = ++ . //toanmath.com/ C. [ ] 42 21 F x x x =+ + . D. Đáp án A và B Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] [ ] 3 4 2 42 1 5 1 5 x m x m dx xm xm x C   + − + + = +− ++ +   ∫ . Lại có: [ ] [ ] 01 1 1 1 1 5 8 1 18 F C C mm C m F =  = =  ⇔ ⇔   +− ++ + = = =    Vậy [ ] 4 6 1 F x x x = ++ . Chọn B Câu 58. Tìm 23 1 ... 2! 3! ! n n x T dx xx x x n = ++ + + + ∫ ? A. 2 . ! !ln 1 ... 2! ! n xx T xn n x C n  = + ++ + + +   . B. 2 . ! !ln 1 ... 2! ! n xx T xn n x C n  = − ++ + + +   . C. 2 !ln 1 ... 2! ! n xx Tn x C n  = ++ + + +   . D. 2 !ln 1 ... . ! 2! ! n n xx T n x x n C n  = ++ + + − +   . Hướng dẫn giải Đặt [ ] [ ] [ ] 234 23 1 1 ... 1 ... 2! 3! 4! ! 2! 3! 1 ! nn xx x x xx x g xx g x x nn − ′ =+ ++ ++ + ⇒ =+ ++ + + − Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ! ! n n x gx g x x n gx g x n ′′ − = ⇒= − [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 !. ! 1 !. !ln ! !ln 1 ... 2! ! n n gx g gx xx T dx n dx n x n n x n x C gx gx n ′ −     ′    ⇒ = = − = − = − ++ + + +       ∫∫ Chọn B //toanmath.com/ DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ f[x] là hàm hữu tỉ: [] [] [] Px fx Qx = – Nếu bậc của P[x] ≥ bậc của Q[x] thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P[x] < bậc của Q[x] và Q[x] có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f[x] thành tổng của nhiều phân thức [bằng phương pháp hệ số bất định]. Chẳng hạn: 1 [ ][ ] A B x a x b x a x b = + − − − − 2 2 2 1 , 40 [ ][ ] A Bx C vôùi b ac x m ax bx c x m ax bx c + = + ∆ = − < − ++ − ++ 22 2 2 1 [ ] [] [ ] [] A B C D x a x b x a x a x b x b = + ++ − − − − − − BÀI TẬP Câu 59. Cho hàm số 4 2 52 [] x fx x + = . Khi đó: A. 3 2 5 [] 3 x f x dx C x = −+ ∫ B. 3 5 [] 2 f x dx x C x = −+ ∫ C. 3 25 [] 3 x f x dx C x = + + ∫ D. 3 2 2 [ ] 5ln 3 x f x dx x C = ++ ∫ Câu 60. Nguyên hàm [] Fx của hàm số 2 2 1 [] x fx x   + =     là hàm số nào trong các hàm số sau? A. 3 1 [] 2 3 x Fx x C x = −+ + . B. 3 1 [] 2 3 x Fx x C x = + + + . C. 3 2 3 [] 2 x x Fx C x + = + . D. 3 3 2 3 [] 2 x x Fx C x  +  = +     . Câu 61. Nguyên hàm của hàm số 4 2 23 x y x + = là: A. 3 23 3 x C x −+ . B. 3 3 3xC x − −+ . C. 3 23 3 x C x + + . D. 3 3 3 x C x −+ . Câu 62. Tính nguyên hàm 1 d 23 x x     +   ∫ A. 1 ln 2 3 2 xC ++ . B. [ ] 1 ln 2 3 2 xC ++ . C. 2ln 2 3 xC ++ . D. ln 2 3 xC ++ . Câu 63. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 1 2 1 f x x = + , biết e1 3 22 F −  =   là: A. [ ] 1 2ln 2 1 2 F x x = +− . B. [ ] 2ln 2 1 1 F x x = ++ . C. [ ] 1 ln 2 1 1 2 F x x = ++ . D. [ ] 1 ln 2 1 2 F x x = ++ . //toanmath.com/ Câu 64. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 1 1 f x x = − và [ ] 21 F = . Tính [ ] 3 F . A. [ ] 3 ln 2 1 F = − . B. [ ] 3 ln 2 1 F = + . C. [ ] 1 3 2 F = . D. [ ] 7 3 4 F = . Câu 65. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] 1 1 f x x = + và [ ] 02 F = thì [ ] 1 F bằng. A. ln 2 . B. 2 ln 2 + . C. 3 . D. 4 . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 [] [3 2 x] fx = − là : A. [ ] 2 1 2 3 2 C x − + + . B. [ ] 1 4 3 2 C x + − . C. [ ] 2 2 32 C x + − . D. [ ] 2 1 2 3 2 C x + − . Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số 2 [2 ] [] [ 1] xx fx x + = + A. 2 1 1 xx x −− + . B. 2 1 1 xx x +− + . C. 2 1 1 xx x ++ + . D. 2 1 x x + . Câu 68. Tính 1 [ 3] dx xx − ∫ . A. 1 ln 33 x C x + − . B. 13 ln 3 x C x + + . C. 1 ln 33 x C x + + . D. 13 ln 3 x C x − + . Câu 69. [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 3 2 1 f x x x = + + . Biết [ ] 00 F = , [ ] 1 ln 3 b Fa c = + trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức abc ++ bằng. A. 4 . B. 9. C. 3 . D. 12. Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 2 2 2 1 x x f x x + = + . A. [ ] 2 1 1 1 xx Fx x −− = + . B. [ ] 2 2 1 1 xx Fx x +− = + . C. [ ] 2 3 1 1 xx F x x ++ = + . D. [ ] 2 4 1 x Fx x = + . Câu 71. Cho biết 2 13 d ln 1 ln 2 [ 1][ 2] x xa x b x C xx − = ++ − + +− ∫ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 28 ab += . B. 8 ab + =. C. 28 ab −=. D. 8 ab −=. Câu 72. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 23 x f x x + = − thỏa mãn [2] 3 F = . Tìm [ ] F x : A. [ ] 4ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . B. [ ] 2ln[2 3] 1 Fx x x = + −+ . C. [ ] 2ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . D. [ ] 2ln | 2 3| 1 Fx x x = + −− . Câu 73. Tích phân [ ] 2 1 2 0 1 d ln 1 x I x a bc x − = = + + ∫ , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức abc ++ ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 74. Tính 2 1 43 dx xx −+ ∫ , kết quả là: //toanmath.com/ A. 11 ln 23 x C x − + − . B. 13 ln 21 x C x − + − . C. 2 ln 4 3 xx C − + + . D. 3 ln 1 x C x − + − . Câu 75. Nguyên hàm 2 1 76 dx xx −+ ∫ là: A. 11 ln 56 x C x − + − . B. 16 ln 51 x C x − + − . C. 2 1 ln 7 6 5 xx C − + + . D. 2 1 ln 7 6 5 xx C − − + + . Câu 76. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 1 2 1 f x x = + , biết [ ] 01 F = . Giá trị của [ ] 2 F − bằng A. 1 1 ln 3 2 + . B. 1 1 ln 5 2 + . C. 1 ln 3 + . D. [ ] 1 1 ln 3 2 + . Câu 77. Tìm nguyên hàm 2 1 d. 4 Ix x = − ∫ A. 1 2 ln . 22 x IC x + = + − B. 12 ln . 22 x IC x − = + + C. 12 ln . 42 x IC x − = + + D. 1 2 ln . 42 x IC x + = + − Câu 78. Tìm nguyên hàm 2 3 d 32 x x xx + + + ∫ . A. 2 3 d 2ln 2 ln 1 32 x x x xC xx + = + − ++ + + ∫ . B. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = +− + + + + ∫ . C. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = ++ + + + + ∫ . D. 2 3 d ln 1 2ln 2 32 x xx x C xx + = ++ + + + + ∫ . Câu 79. Nguyên hàm 32 2 2 6 4 1 32 xx x dx xx − ++ −+ ∫ là: A. 2 1 ln 2 x xC x − + + − . B. 2 12 ln 21 x xC x − + + − . C. 2 11 ln 22 x xC x − + + − . D. 2 2 ln 1 x xC x − + + − . Câu 80. Nguyên hàm 2 33 2 x dx xx + − −+ ∫ là: A. 2ln 1 ln 2 x xC −− + + . B. 2ln 1 ln 2 x xC − −+ + + . C. 2ln 1 ln 2 x xC −+ + + . D. 2ln 1 ln 2 x xC − −− + + . Câu 81. Nguyên hàm của hàm số 32 2 3 31 [] 2 1 x x x fx x x + + − = ++ khi biết [ ] 1 1 3 F = là A. [ ] 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ − + B. [ ] 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ + + //toanmath.com/ C. [ ] 2 2 . 21 x F x x x = ++ + D. [ ] 2 2 . 21 x F x x C x = ++ + + Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để [ ] 4 ax b F x x + = + [ ] 40 ab −≠ là nguyên hàm của hàm số [ ] f x và thỏa mãn: [ ] [ ] [ ] 2 21 f x F x f x ′ = −     . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. 1 a = , 4 b = . B. 1 a = , 1 b = − . C. 1 a = , { } \4 b ∈  . D. a ∈  , b ∈  . DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 [] 3 fx x x x = + là : A. 2 3 29 48 x x x x C ++ . B. 3 22 5 27 38 x x x x C ++ . C. 2 3 29 3 5 x x x x C −+ . D. 3 22 29 38 x x x x C + + . Câu 84. Nguyên hàm của [ ] 3 12 3 f x xx = ++ là: A. 3 2 23 3 x x xC + + + . B. 3 2 4 23 3 x x xC + + + . C. 3 2 1 33 2 x x xC + + + . D. 3 2 14 3 23 x x xC + + + . Câu 85. Tính 1 dx x − ∫ thu được kết quả là: A. 1 C x − B. 21 xC − −+ C. 2 1 C x + − D. 1 xC −+ Câu 86. Gọi [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 1 f x x x = +− . Nguyên hàm của [ ] f x biết [ ] 36 F = là: A. [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + −+ . B. [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + + + . C. [ ] [ ] 3 2 11 1 3 3 F x x x = + −− . D. [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + + − . Câu 87. Cho [x 2] 2 [x 1] 1 21 dx a x b x C xx = + + + + ++ ++ + ∫ . Khi đó 3ab + bằng: A. 2 3 − . B. 1 3 . C. 4 3 . D. 2 3 . Câu 88. Tìm 1 1 x Q dx x − = + ∫ ? A. 22 1 ln 1 Q x x x C = −+ + − + . B. 22 1 ln 1 Q x x x C = −− + − + . C. 22 ln 1 1 Q x x x C = + − − −+ . D. Cả đáp án B,C đều đúng. //toanmath.com/ Câu 89. Biết [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] 1 1 21 f x m x = +− + thỏa mãn [ ] 00 F = và [ ] 37 F = . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 − . B. 3 . C. 3 − . D. 2 . Câu 90. Hàm số [ ] [ ] 4 1 F x ax b x =++ [ , ab là các hằng số thực] là một nguyên hàm của [ ] 12 4 1 x f x x = + . Tính ab + . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 91. Biết [ ] [ ] 2 23 F x ax bx c x = ++ − [ ] , , a bc ∈  là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 20 30 11 23 x x f x x −+ = − trên khoảng 3 ; 2  +∞   . Tính T abc = ++ . A. 8 T = . B. 5 T = . C. 6 T = . D. 7 T = . DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2cos 2 f x x = là A. 2sin 2xC −+ . B. sin 2xC + . C. 2sin 2xC + . D. sin 2xC + . Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] sin 5 2 f x x = + là A. 5cos5xC + . B. 1 cos5 2 5 x xC − ++ . C. 1 cos5 2 5 x xC ++ . D. cos5 2 x xC ++ . Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 sin 2 f x x x = + là A. 2 1 cos 2 2 x xC −+ . B. 2 1 cos 2 2 x xC ++ . C. 2 2cos 2 x xC − + . D. 2 2cos 2 x xC ++ . Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [ ] cos 2 fx x = là: A. 1 cos 4 28 x C ++ . B. cos 4 22 xx C −+ . C. 1 cos 4 22 x C −+ . D. cos 4 28 xx C ++ . Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] cos 3 6 f x x π  = +   . A. [ ] d 3sin 3 6 f x x x C π  = ++   ∫ . B. [ ] 1 d sin 3 36 f x x x C π  = − ++   ∫ . C. [ ] d 6sin 3 6 f x x x C π  = ++   ∫ . D. [ ] 1 d sin 3 36 f x x x C π  = ++   ∫ . Câu 97. Cho [ ] cos 2 sin F x x x C = −+ là nguyên hàm của hàm số [ ] f x . Tính [ ] π f . A. [ ] π3 f = − . B. [ ] π1 f = . C. [ ] π1 f = − . D. [ ] π 0 f = . Câu 98. Tính: 1 cos dx x + ∫ A. 2 tan 2 x C + . B. tan 2 x C + . C. 1 tan 22 x C + . D. 1 tan 42 x C + . Câu 99. Tìm nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 6 sin 3 f x x x = + , biết [ ] 2 0 3 F = . A. [ ] 2 cos3 2 3 33 x F x x =−+ . B. [ ] 2 cos3 31 3 x F x x =−− . //toanmath.com/ C. [ ] 2 cos3 3 1 3 x F x x =++ . D. [ ] 2 cos3 31 3 x F x x =−+ . Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [ ] tan fx x = là: A. cot x xC −+ . B. tan x xC −+ . C. cot x xC − −+ . D. tan x xC − −+ . Câu 101. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số 2 1 cos y x = − và [ ] 01 F = . Khi đó, ta có [ ] F x là: A. tan x − . B. tan 1 x −+ . C. tan 1 x + . D. tan 1 x − . Câu 102. Cho hàm số [ ] 4 sin 2 f x x = . Khi đó: A. [ ] 11 3 sin 4 sin8 88 f x dx x x x C   = + + +     ∫ . B. [ ] 11 3 cos 4 sin8 88 f x dx x x x C   = − + +     ∫ . C. [ ] 11 3 cos 4 sin8 88 f x dx x x x C  = ++ +   ∫ . D. [ ] 1 1 3 sin 4 sin8 8 8 f x dx x x x C  = −+ +   ∫ . Câu 103. Biết rằng [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] sin 1 2 f x x = − và thỏa mãn 1 1. 2 F  =   Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. [ ] [ ] 13 cos 1 2 . 22 F x x = − −+ B. [ ] [ ] cos 1 2 . F x x = − C. [ ] [ ] cos 1 2 1. F x x = −+ D. [ ] [ ] 11 cos 1 2 . 22 F x x = −+ Câu 104. Nguyên hàm [ ] sin 2 cos x x dx + ∫ là: A. 1 cos 2 sin 2 x xC ++ . B. cos 2 sin x xC − ++ . C. 1 cos 2 sin 2 x xC − ++ . D. cos 2 sin x xC − −+ . Câu 105. Nguyên hàm [ ] [ ] sin 2 3 cos 3 2 x x dx ++ −   ∫ là: A. [ ] [ ] 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC − +− − + . B. [ ] [ ] 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC − ++ − + . C. [ ] [ ] 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC +− − + . D. [ ] [ ] 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC ++ − + . Câu 106. Nguyên hàm [ ] 2 sin 3 1 cos x x dx   ++   ∫ là: A. [ ] 1 3sin 6 2 sin 2 x x xC − + + + . B. [ ] 3sin 6 2 sin x x xC − + + + . C. [ ] 1 3sin 3 1 sin 2 x x xC − ++ + . D. [ ] 1 3sin 6 2 sin 2 x x xC − + − + . Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của [ ] 33 sin cos x x dx + ∫ ? A. 22 3cos .sin 3sin .cos x x x xC −+ . B. [ ] 3 sin 2 sin cos 2 x x xC −+ . C. 3 2 sin 2 sin 4 xx C π   − +     . D. 3 2 sin .cos .sin 4 xx x C π   − +     . Câu 108. Cho hàm số [ ] cos3 .cos f x x x = . Một nguyên hàm của hàm số [ ] f x bằng 0 khi 0 x = là: A. 3sin 3 sin xx + B. sin 4 sin 2 84 xx + C. sin 4 sin 2 24 xx + D. cos 4 cos 2 84 xx + //toanmath.com/ Câu 109. Họ nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 cot f x x = là: A. cot x xC −+ B. cot x xC − −+ C. cot x xC ++ D. tan x xC ++ Câu 110. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 sin 4 1 cos x f x x = + thỏa mãn 0 2 F π  =   . Tính [ ] 0 F . A. [ ] 0 4 6ln 2 F =−+ . B. [ ] 0 4 6ln 2 F =−− . C. [ ] 0 4 6ln 2 F = − . D. [ ] 0 4 6ln 2 F = + . Câu 111. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 tan f x x = và 1 4 F π  =   . Tính 4 F π  −   . A. 1 4 4 F π π  −=−   . B. 1 4 2 F π π  −=−   . C. 1 4 F π  −= −   . D. 1 4 2 F π π  −=+   . Câu 112. Tìm một nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] [ ] 2 1 sin f x x = + biết 3 24 F ππ  =   A. [ ] 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =+ − B. [ ] 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =−− C. [ ] 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =−+ D. [ ] 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =+ + Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 3sin 3 2cos3 5sin 3 cos3 x x f x xx −+ = − . A. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x xC −+ − + B. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x x C −− − + C. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x xC + − + D. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x x C − − + Câu 114. Biết [ ] 2 sin 2 cos 2 d cos 4 a x x x x xC b − = + + ∫ , với a , b là các số nguyên dương, a b là phân số tối giản và C ∈  . Giá trị của ab + bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3. Câu 115. Tính 8sin 3 cos d cos 4 cos 2 I x x x a xb xC = = + + ∫ . Khi đó, ab − bằng A. 3 . B. 1 − . C. 1. D. 2 . Câu 116. [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số 2sin cos3 y xx = và [ ] 00 F = , khi đó A. [ ] cos 4 cos 2 F x x x = − . B. [ ] cos 2 cos 4 1 4 88 xx F x= −− . C. [ ] cos 2 cos 4 1 2 44 xx F x= −− . D. [ ] cos 4 cos 2 1 4 24 xx F x= −+ . Câu 117. Cho α ∈  . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số [ ] sin f x x = . A. [ ] 1 cos Fx x = − . B. [ ] 2 2sin sin 22 xx Fx αα +− = . C. [ ] 3 2sin sin 22 x x F x αα    = −+ −       . D. [ ] 4 2cos sin 22 xx Fx αα +− = . Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 tan 2 2 f x x = + . A. 2 1 tan 2 d 2 tan 2 2 2 x x x xC  + = −+   ∫ . B. 2 1 tan 2 d tan 2 22 x x x xC  + = −+   ∫ . C. 2 1 tan 2 d tan 2 2 x x x xC  + = −+   ∫ . D. 2 1 tan 2 tan 2 d 2 22 xx xx C  + = −+   ∫ . //toanmath.com/ Câu 119. Hàm số [ ] ln sin 3cos F x x x = − là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. [ ] sin 3cos cos 3sin xx f x xx − = + . B. [ ] cos 3sin sin 3cos xx f x xx − − = − . C. [ ] cos 3sin sin 3cos xx f x xx + = − . D. [ ] cos 3sin f x x x = + . Câu 120. Hàm số [ ] 7cos 4sin cos sin xx f x xx − = + có một nguyên hàm [ ] F x thỏa mãn 3 48 F ππ  =   . Giá trị 2 F π    bằng? A. 3 11ln 2 4 π − . B. 3 4 π . C. 3 8 π . D. 3 ln 2 4 π − . Câu 121. Tìm sin sin cos x I dx x x = + ∫ ? A. [ ] 1 ln sin cos 2 I x x xC =+ ++ . B. ln sin cos I x x xC =+ ++ . C. ln sin cos I x x xC =− ++ . D. [ ] 1 ln sin cos 2 I x x xC =− ++ . Câu 14. Biết sinx cos sinx cos sinx cos sinx x I dx A B dx xx −   = = +   ++   ∫∫ . Kết quả của A, B lần lượt là A. 1 . 2 AB = = B. 1 . 2 AB = = − C. 11 ,. 22 A B = −= D. 11 ,. 22 AB = = − Câu 122. Tìm 4 44 cos sin cos x I dx xx = + ∫ ? A. 1 1 2 sin 2 ln 2 2 2 2 sin 2 x Ix C x    + = − +       −    . B. 1 2 sin 2 ln 2 2 2 sin 2 x Ix C x  + = −+   −  . C. 1 1 2 sin 2 ln 2 2 2 2 sin 2 x Ix C x   + = ++     −   . D. 1 2 sin 2 ln 2 2 2 sin 2 x Ix C x  + = −+   −  . Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 3sin 2 2cos e x f x x x = − + − là A. 6cos 2 2sin e x x x C − + −+ . B. 6cos 2 2sin e x x x C − −+ . C. 3 cos 2 2sin e 2 x x x C − −+ . D. 3 cos 2 2sin e 2 x x x C + −+ . Câu 124. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên đoạn [ ] 0; \ 2 π π    thỏa mãn [ ] tan fx x ′ = , 5 ;\ 44 2 x π π π     ∀∈ −        , [ ] 00 f = , [ ] 1 f π = . Tỉ số giữa 2 3 f π       và 4 f π    bằng: A. [ ] 2 2 log e 1 + . B. 2 . C. [ ] 1 1 ln 2 2 ln 2 + + . D. [ ] 2 2 1 log e − . DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 5 x f x = . //toanmath.com/ A. 2 5d x x ∫ 2 5 2. ln 5 x C = + . B. 2 5d x x ∫ 25 2ln 5 x C = + . C. 2 5d x x ∫ 2 2.5 ln 5 x C = + . D. 2 5d x x ∫ 1 25 1 x C x + = + + . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2018 e. x f x = A. [ ] 2018 1 d .e 2018 x f x x C = + ∫ . B. [ ] 2018 de x f x x C = + ∫ . C. [ ] 2018 d 2018e x f x x C = + ∫ . D. [ ] 2018 d e ln 2018 x f x x C = + ∫ . Câu 127. Tìm nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 e x f x = , biết [ ] 01 F = . A. [ ] 2 e x F x = . B. [ ] 2 e1 22 x F x = + . C. [ ] 2 2e 1 x F x = − . D. [ ] e x F x = . Câu 128. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] 3 e x f x = thỏa mãn [ ] 01 F = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. [ ] 3 12 e 33 x F x = + . B. [ ] 3 1 e 3 x F x = . C. [ ] 3 1 e 1 3 x F x = + . D. [ ] 3 14 e 33 x F x= −+ . Câu 129. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] e 2 x f x x = + thỏa mãn [ ] 3 0 2 F = . Tìm [ ] F x . A. [ ] 2 5 e 2 x F x x = ++ . B. [ ] 2 1 2e 2 x F x x = +− . C. [ ] 2 3 e 2 x F x x = ++ . D. [ ] 2 1 e 2 x F x x = ++ . Câu 130. Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn [ ] 2018 ln 2018 cos x fx x ′ = − và [ ] 02 f = . Phát biểu nào sau đúng? A. [ ] 2018 sin 1 x f x x = ++ . B. [ ] 2018 sin 1 ln 2018 x f x x = ++ . C. [ ] 2018 sin 1 ln 2018 x f x x = −+ . D. [ ] 2018 sin 1 x f x x = −+ . Câu 131. Tính 32 [2 ] x e dx + ∫ A. 36 41 3 36 x x x e eC + + + B. 36 45 4 36 x x x e eC + + + C. 36 41 4 36 x x x e eC + −+ D. 36 41 4 36 x x x e eC + + + Câu 132. Nếu [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] [1 ] xx fx e e − = − và [0] 3 F = thì [] Fx là? A. x ex − B. 2 x ex −+ C. x e xC −+ D. 1 x ex −+ Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số [] xx fx e e − = − là : A. xx ee C − ++ . B. xx ee C − − + . C. xx ee C − −+ + . D. x x e eC ++ . Câu 134. Hàm số [] xx Fx e e x − = ++ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? //toanmath.com/ A. [] 1 x x fx e e − = ++ B. 2 1 [] 2 xx fx e e x − = − + C. [] 1 xx fx e e − = − + D. 2 1 [] 2 xx fx e e x − = ++ Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số 23 [] xx fx e e − = − là : A. 32 32 xx e e C − ++ . B. 23 23 x x ee C − ++ . C. 33 22 x x e e C − ++ . D. 23 32 xx ee C − + + . Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số 23 [] 3 2 xx fx − = − là : A. 23 32 2.ln 3 3.ln 2 x x C − ++ . B. 23 32 2.ln 3 3.ln 2 x x C − −+ . C. 23 3 2 2.ln 3 3.ln 2 x x C − ++ . D. 23 32 2.ln 3 3.ln 2 x x C − −+ . Câu 137. Hàm số [] y fx = có một nguyên hàm là [ ] 2 e x F x = . Tìm nguyên hàm của hàm số [] 1 e x fx + . A. [] 1 d ee e xx x fx xC − + = − + ∫ . B. [] 1 d 2e e e xx x fx x C − + = − + ∫ . C. [] 1 d 2e e e xx x fx xC − + = ++ ∫ . D. [] 1 1 d ee e2 xx x fx xC − + = − + ∫ . Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] e 1e xx f x − = + . A. [ ] de x f x x C − = + ∫ . B. [ ] de x f x x x C = ++ ∫ . C. [ ] d ee xx f x x C − = ++ ∫ . D. [ ] de x f x x C = + ∫ . Câu 139. [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số 2 . x y xe = Hàm số nào sau đây không phải là [ ] F x ? A. [ ] 2 1 2 2 x F x e = + . B. [ ] [ ] 2 1 5 2 x F x e = + . C. [ ] 2 1 2 x F x e C = −+ . D. [ ] [ ] 2 1 2 2 x F x e = −− . Câu 140. Tìm nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 23 4 xx x x f x  = −    . A. [ ] 12 2 ln12 3 x x x F x C = −+ . B. [ ] 12 x F x x x C = ++ . C. [ ] 2 23 ln 2 ln 3 4 xx x x x F x  = −    . D. [ ] 2 2 3 ln 4 ln 2 ln 3 4 xx x x x F x  = −    . Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số [ ] 5 2018e e 2017 x x f x x −  = −   . A. [ ] 4 2018 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . B. [ ] 4 504,5 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . C. [ ] 4 504,5 d 2017e x f x x C x = − + ∫ . D. [ ] 4 2018 d 2017e x f x x C x = −+ ∫ . //toanmath.com/ Câu 142. Tính 2 2 .3 .7 xx x dx ∫ A. 84 ln84 x C + B. 2 2 .3 .7 ln 4.ln 3.ln 7 xx x C + C. 84 x C + D. 84 ln84 x C + Câu 143. Nguyên hàm 21 3 2 x x e dx e + − ∫ là: A. 5 1 33 52 33 x x e eC +− −+ . B. 5 1 33 52 33 x x e eC + ++ . C. 5 1 33 52 33 x x e eC + −+ . D. 5 1 33 52 33 x x e eC +− ++ . Câu 144. Cho [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] 1 3 x f x e = + và [ ] 1 0 ln 4 3 F = − . Tập nghiệm S của phương trình [ ] [ ] 3 ln 3 2 x F x e + += là A. { } 2 S = . B. { } 2;2 S = − . C. { } 1;2 S = . D. { } 2;1 S = − . Câu 145. Hàm số [ ] [ ] 31 2 1 e 9 24 17 27 x F x x x C + = − ++ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. A. [ ] [ ] 2 31 2 1 e x f x x x + = +− . B. [ ] [ ] 2 31 2 1 e x f x x x + = −− . C. [ ] [ ] 2 31 2 1 e x f x x x + = −+ . D. [ ] [ ] 2 31 2 1 e x f x x x − = −− . Câu 146. Cho hai hàm số [ ] [ ] 2 x F x x ax b e − = + + và [ ] [ ] 2 36 x f x x x e − =− + + . Tìm a và b để [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x . A. 1 a = , 7 b = − . B. 1 a = − , 7 b = − . C. 1 a = − , 7 b = . D. 1 a = , 7 b = . Câu 147. Tìm nx F x e dx = ∫ ? A. [ ] [ ] [ ] 1 12 1 ... ! 1 ! 1 nn xn n n n F e x nx n n x n x n x C − −−  = − + − + + − + − + +  . B. [ ] [ ] [ ] 1 12 1 ... ! 1 ! 1 nn xn n n F e x nx n n x n x n C − −−  = − + − + + − + − +  . C. ! x F ne C = + . D. [ ] [ ] [ ] 1 12 1 ... ! 1 ! 1 nn nn n x F x nx n n x n x n e C − −− = − + − + + − + − + + . Câu 148. Giả sử 23 2 3 2 2 [2 5 2 4] [ ] xx e x x x dx ax bx cx d e C + − + = + ++ + ∫ . Khi đó abc d + ++ bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số [ ] 5 2018e e 2017 x x f x x −  = −   . A. [ ] 4 2018 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . B. [ ] 4 504,5 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . C. [ ] 4 504,5 d 2017e x f x x C x = − + ∫ . D. [ ] 4 2018 d 2017e x f x x C x = −+ ∫ . Câu 150. Giả sử 23 2 3 2 2 [2 5 2 4] [ ] xx e x x x dx ax bx cx d e C + − + = + ++ + ∫ . Khi đó abc d + ++ bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 151. Cho [ ] [ ] 22 e x F x ax bx c = +− là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 22 2018 3 1 e x f x x x = −+ trên khoảng [ ] ; −∞ +∞ . Tính 24 T abc =++ . A. 3035 T = − . B. 1007 T = . C. 5053 T = − . D. 1011 T = . //toanmath.com/ Câu 152. Biết [ ] [ ] 2 x F x ax bx c e − = ++ là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 2 2 52 x f x x x e − = − + trên  . Tính giá trị của biểu thức [ ] 0 fF    . A. 1 e − − . B. 2 20e . C. 9e . D. 3e . Câu 153. Gọi [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 x f x = , thỏa mãn [ ] 1 0 ln 2 F = . Tính giá trị biểu thức [ ] [ ] [ ] [ ] 0 1 2 ... 2017 TF F F F = + + ++ . A. 2017 21 1009. ln 2 T + = . B. 2017.2018 2 T = . C. 2017 21 ln 2 T − = . D. 2018 2 1 ln 2 T − = . //toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 59. Cho hàm số 4 2 52 [] x fx x + = . Khi đó: A. 3 2 5 [] 3 x f x dx C x = −+ ∫ B. 3 5 [] 2 f x dx x C x = −+ ∫ C. 3 25 [] 3 x f x dx C x = + + ∫ D. 3 2 2 [ ] 5ln 3 x f x dx x C = ++ ∫ Hướng dẫn giải Ta có: 43 2 2 2 52 5 2 5 2 3 x x dx x dx C x x x +   = + = −+     ∫∫ . Chọn A Câu 60. Nguyên hàm [] Fx của hàm số 2 2 1 [] x fx x   + =     là hàm số nào trong các hàm số sau? A. 3 1 [] 2 3 x Fx x C x = −+ + . B. 3 1 [] 2 3 x Fx x C x = + + + . C. 3 2 3 [] 2 x x Fx C x + = + . D. 3 3 2 3 [] 2 x x Fx C x  +  = +     . Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 42 3 2 22 1 2x 1 1 1 x 2 2x 3 xx x dx d x C x x xx   + ++   = = ++ = + − +         ∫∫ ∫ . Chọn A Câu 61. Nguyên hàm của hàm số 4 2 23 x y x + = là: A. 3 23 3 x C x −+ . B. 3 3 3xC x − −+ . C. 3 23 3 x C x + + . D. 3 3 3 x C x −+ . Hướng dẫn giải Ta có: 43 2 2 2 23 3 2 3 2 3 xx dx x dx C x x x +   = + = −+     ∫ ∫ . Chọn A Câu 62. Tính nguyên hàm 1 d 23 x x     +   ∫ A. 1 ln 2 3 2 xC ++ . B. [ ] 1 ln 2 3 2 xC ++ . C. 2ln 2 3 xC ++ . D. ln 2 3 xC ++ . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: [ ] 1 1 1 1 d d 23 ln 23 23 2 23 2 x x xC xx     = + = ++     ++     ∫∫ Câu 63. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 1 2 1 f x x = + , biết e1 3 22 F −  =   là: A. [ ] 1 2ln 2 1 2 F x x = +− . B. [ ] 2ln 2 1 1 F x x = ++ . //toanmath.com/ C. [ ] 1 ln 2 1 1 2 F x x = ++ . D. [ ] 1 ln 2 1 2 F x x = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng [ ] 1 d 2 1 F x x x = + ∫ 1 ln 2 1 2 xC = ++ . Mà e1 3 22 F −  =   1 e1 3 ln 2 1 22 2 C −  ⇔ ++ =   1 C ⇔= . Câu 64. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 1 1 f x x = − và [ ] 21 F = . Tính [ ] 3 F . A. [ ] 3 ln 2 1 F = − . B. [ ] 3 ln 2 1 F = + . C. [ ] 1 3 2 F = . D. [ ] 7 3 4 F = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 1 [ ] d ln 1 1 Fx x x C x = = −+ − ∫ . Theo đề [ ] 2 1 ln1 1 1 F CC =⇔ +=⇔ = . Vậy [ ] 3 ln 2 1 F = + . Câu 65. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] 1 1 f x x = + và [ ] 02 F = thì [ ] 1 F bằng. A. ln 2 . B. 2 ln 2 + . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B [ ] 1 d ln 1 1 F x x x C x = = ++ + ∫ mà [ ] 02 F = nên [ ] ln 1 2 F x x = ++ . Do đó [ ] 1 2 ln 2 F = + . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 [] [3 2 x] fx = − là : A. [ ] 2 1 2 3 2 C x − + + . B. [ ] 1 4 3 2 C x + − . C. [ ] 2 2 32 C x + − . D. [ ] 2 1 2 3 2 C x + − . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 32 2 1 32 2 32 dx C x x = + − − ∫ . Chọn D Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số 2 [2 ] [] [ 1] xx fx x + = + A. 2 1 1 xx x −− + . B. 2 1 1 xx x +− + . C. 2 1 1 xx x ++ + . D. 2 1 x x + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2 22 22 1 1 11 11 2 0 1 0 1 11 1 22 1 11 xx xx x x x xx −− ++ ′  +− + + = =  + ++  . Chọn B //toanmath.com/ Câu 68. Tính 1 [ 3] dx xx − ∫ . A. 1 ln 33 x C x + − . B. 13 ln 3 x C x + + . C. 1 ln 33 x C x + + . D. 13 ln 3 x C x − + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 1 1 11 1 3 .ln 33 3 3 x dx dx C x x x x x −  = −= +  −−  ∫∫ . Chọn D Câu 69. [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 3 2 1 f x x x = + + . Biết [ ] 00 F = , [ ] 1 ln 3 b Fa c = + trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức abc ++ bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3. D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] 2 1 3d 2 1 F x x x x   = +   +   ∫ 3 1 ln 2 1 2 x xC = + ++ . Do [ ] 00 F = ⇒ 0 C = ⇒ [ ] 3 1 ln 2 1 2 F x x x =+ + . Vậy [ ] 1 1 1 ln 3 2 F = + ⇒ 1; a = 1; b = 2 c = ⇒ 4 abc ++ =. Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 2 2 2 1 x x f x x + = + . A. [ ] 2 1 1 1 xx Fx x −− = + . B. [ ] 2 2 1 1 xx Fx x +− = + . C. [ ] 2 3 1 1 xx F x x ++ = + . D. [ ] 2 4 1 x Fx x = + . Hướng dẫn giải Chọn C [ ] [ ] [ ] 2 1 2 2 1 x x Fx x + ′ = + , đáp án A là nguyên hàm của [ ] f x . [ ] [ ] [ ] 2 2 2 22 1 x x Fx x ++ ′ = + , đáp án B không phải là nguyên hàm của [ ] f x . [ ] [ ] [ ] 2 3 2 2 1 x x F x x + ′ = + , đáp án C là nguyên hàm của [ ] f x . [ ] [ ] [ ] 2 4 2 2 1 x x Fx x + ′ = + , đáp án D là nguyên hàm của [ ] f x . Câu 71. Cho biết 2 13 d ln 1 ln 2 [ 1][ 2] x xa x b x C xx − = ++ − + +− ∫ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 28 ab += . B. 8 ab + =. C. 28 ab −=. D. 8 ab −=. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có //toanmath.com/ 2 13 d [ 1][ 2] x x xx − +− ∫ 53 d 12 x xx  = −  +−  ∫ 11 5 d 3 d 11 xx xx = − +− ∫∫ 5ln 1 3ln 2 x xC = +− − + . Vậy 5 3 a b =   = −  8 ab ⇒ −=. Câu 72. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 23 x f x x + = − thỏa mãn [2] 3 F = . Tìm [ ] F x : A. [ ] 4ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . B. [ ] 2ln[2 3] 1 Fx x x = + −+ . C. [ ] 2ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . D. [ ] 2ln | 2 3| 1 Fx x x = + −− . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] 2 1 d 23 x F x x x + = − ∫ 4 1 d 2ln 2 3 23 xx x C x  = + = + −+  −  ∫ . Lại có [2] 3 F = 2 2ln 1 3 C ⇔+ + = 1 C ⇔= . Câu 73. Tích phân [ ] 2 1 2 0 1 d ln 1 x I x a bc x − = = + + ∫ , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức abc ++ ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] 2 1 2 0 1 d 1 x Ix x − = + ∫ 1 2 0 2 1d 1 x x x  = −  +  ∫ [ ] 1 2 0 ln 1 1 ln 2 xx =− + =− . Khi đó 1 a = − , 2 b = , 1 c = . Vậy 2 abc ++ =. Câu 74. Tính 2 1 43 dx xx −+ ∫ , kết quả là: A. 11 ln 23 x C x − + − . B. 13 ln 21 x C x − + − . C. 2 ln 4 3 xx C − + + . D. 3 ln 1 x C x − + − . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2 11 1 1 3 ln 43 1 3 2 3 1 2 1 dx dx x dx C xx x x x x x −   = = −= +   −+ − − − − −   ∫ ∫ ∫ . Chọn B Câu 75. Nguyên hàm 2 1 76 dx xx −+ ∫ là: A. 11 ln 56 x C x − + − . B. 16 ln 51 x C x − + − . C. 2 1 ln 7 6 5 xx C − + + . D. 2 1 ln 7 6 5 xx C − − + + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] [ ] 2 1 1 11 1 1 1 6 ln 6 ln 1 ln 7 6 1 6 56 1 5 51 x dx dx dx x x C C xx x x x x x −   = = − = −− − + = +   −+ − − − − −   ∫∫ ∫ . //toanmath.com/ Chọn B Câu 76. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 1 2 1 f x x = + , biết [ ] 01 F = . Giá trị của [ ] 2 F − bằng A. 1 1 ln 3 2 + . B. 1 1 ln 5 2 + . C. 1 ln 3 + . D. [ ] 1 1 ln 3 2 + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có [ ] [ ] d1 d ln 2 1 2 12 x F x f x x x C x = = = + + + ∫∫ . [ ] [ ] [ ] 1 11 0 1 ln1 1 1 ln 2 1 1 2 1 ln 3 2 22 F C C F x x F = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = + + ⇒ − = + . Câu 77. Tìm nguyên hàm 2 1 d. 4 Ix x = − ∫ A. 1 2 ln . 22 x IC x + = + − B. 12 ln . 22 x IC x − = + + C. 12 ln . 42 x IC x − = + + D. 1 2 ln . 42 x IC x + = + − Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] [ ] 1 11 1 1 2 d d ln . 22 4 2 2 4 2 x I x xC xx x x x +  = − = − −=+  −+ − + −  ∫∫ Câu 78. Tìm nguyên hàm 2 3 d 32 x x xx + + + ∫ . A. 2 3 d 2ln 2 ln 1 32 x x x xC xx + = + − ++ + + ∫ . B. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = +− + + + + ∫ . C. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = ++ + + + + ∫ . D. 2 3 d ln 1 2ln 2 32 x xx x C xx + = ++ + + + + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] [ ] 2 3 3 21 d d d 32 1 2 1 2 xx xx x xx x x x x + +   = = −   + + + + + +   ∫∫ ∫ 2ln 1 ln 2 x xC = +− + + . Câu 79. Nguyên hàm 32 2 2 6 4 1 32 xx x dx xx − ++ −+ ∫ là: A. 2 1 ln 2 x xC x − + + − . B. 2 12 ln 21 x xC x − + + − . C. 2 11 ln 22 x xC x − + + − . D. 2 2 ln 1 x xC x − + + − . Hướng dẫn giải Ta có: //toanmath.com/ 32 2 22 2 6 4 1 1 1 1 2 2 2 ln 32 32 2 1 1 xx x x dx x dx x dx x C xx xx x x x − ++ −    = + = + − = + +    −+ −+ − − −    ∫ ∫ ∫ Chọn D Câu 80. Nguyên hàm 2 33 2 x dx xx + − −+ ∫ là: A. 2ln 1 ln 2 x xC −− + + . B. 2ln 1 ln 2 x xC − −+ + + . C. 2ln 1 ln 2 x xC −+ + + . D. 2ln 1 ln 2 x xC − −− + + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2 33 33 2 1 2ln 1 ln 2 21 2 1 2 xx dx dx dx x x C x x xx x x ++  = = − =− −− + +  − −+ − + − +  ∫∫ ∫ . Chọn B Câu 81. Nguyên hàm của hàm số 32 2 3 31 [] 2 1 x x x fx x x + + − = ++ khi biết [ ] 1 1 3 F = là A. [ ] 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ − + B. [ ] 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ + + C. [ ] 2 2 . 21 x F x x x = ++ + D. [ ] 2 2 . 21 x F x x C x = ++ + + Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 32 2 22 3 31 2 2 d 1 d [] 2 1 [ 1] 2 1 x x x x x x x x C Fx x x x x   + + − = +− = + + + =   ++ + +   ∫ ∫ . Mà [ ] 1 1 1 13 1 11 32 3 6 F C C = ⇔ +++ = ⇔ = − nên [ ] 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ − + Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để [ ] 4 ax b F x x + = + [ ] 40 ab −≠ là nguyên hàm của hàm số [ ] f x và thỏa mãn: [ ] [ ] [ ] 2 21 f x F x f x ′ = −     . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. 1 a = , 4 b = . B. 1 a = , 1 b = − . C. 1 a = , { } \4 b ∈  . D. a ∈  , b ∈  . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] 4 ax b F x x + = + là nguyên hàm của [ ] f x nên [ ] [ ] [ ] 2 4 4 ab f x F x x − ′ = = + và [ ] [ ] 3 28 4 ba fx x − ′ = + . Do đó: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 21 f x F x f x ′ = − [ ] [ ] [ ] 2 43 24 28 1 4 44 ab ax b b a x xx − + −   ⇔=−   +   ++ [ ] 44 a b ax b x ⇔ − =− +− − [ ] [ ] 41 0 1 x aa ⇔ + − = ⇔= [do 40 x+≠ ] Với 1 a = mà 40 ab −≠ nên 4 b ≠ . Vậy 1 a = , { } \4 b ∈  . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: //toanmath.com/ + Vì 40 ab −≠ nên loại được ngay phương án A: 1 a = , 4 b = và phương án D: a ∈  , b ∈  . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy 0 b = , 1 a = . Khi đó, ta có [ ] 4 x F x x = + , [ ] [ ] 2 4 4 f x x = + , [ ] [ ] 3 8 4 fx x ′ = − + . Thay vào [ ] [ ] [ ] [ ] 2 21 f x F x f x ′ = − thấy đúng nên Chọn C //toanmath.com/ DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 [] 3 fx x x x = + là : A. 2 3 29 48 x x x x C ++ . B. 3 22 5 27 38 x x x x C ++ . C. 2 3 29 3 5 x x x x C −+ . D. 3 22 29 38 x x x x C + + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 33 3 8 22 3 2 2 3 29 3 3. 3 8 38 x x x x x x x x x dx C C + = + += + + ∫ . Chọn D Câu 84. Nguyên hàm của [ ] 3 12 3 f x xx = ++ là: A. 3 2 23 3 x x xC + + + . B. 3 2 4 23 3 x x xC + + + . C. 3 2 1 33 2 x x xC + + + . D. 3 2 14 3 23 x x xC + + + . Hướng dẫn giải Ta có: 12 11 3 2 33 22 3 12 3 2 3 2 33 2 3 3 dx x x dx x x x C x x x C xx − −  + + = + + = + + + = + + +     ∫∫ . Chọn A Câu 85. Tính 1 dx x − ∫ thu được kết quả là: A. 1 C x − B. 21 xC − −+ C. 2 1 C x + − D. 1 xC −+ Hướng dẫn giải Ta có: 21 1 dx xC x =− −+ − ∫ . Chọn B Câu 86. Gọi [ ] F x là nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 1 f x x x = +− . Nguyên hàm của [ ] f x biết [ ] 36 F = là: A. [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + −+ . B. [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + + + . C. [ ] [ ] 3 2 11 1 3 3 F x x x = + −− . D. [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + + − . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 3 2 12 1 11 3 x dx x C xx  +− = + + +   ∫ . Theo đề bài, ta lại có: [ ] [ ] 3 2 1 1 3 6 31 6 33 3 F CC = ⇔ + + + = ⇔ = . [ ] [ ] 3 2 11 1 33 F x x x = + + + . Chọn B //toanmath.com/ . Câu 87. Cho [x 2] 2 [x 1] 1 21 dx a x b x C xx = + + + + ++ ++ + ∫ . Khi đó 3ab + bằng: A. 2 3 − . B. 1 3 . C. 4 3 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 [ 2 1]dx [x 2] 2 [x 1] 1 3 3 21 dx x x x x C xx = +− + = + +− + + + ++ + ∫∫ 22 ; 33 ab ⇒= = − 4 3 3 ab ⇒ + = Câu 88. Tìm 1 1 x Q dx x − = + ∫ ? A. 22 1 ln 1 Q x x x C = −+ + − + . B. 22 1 ln 1 Q x x x C = −− + − + . C. 22 ln 1 1 Q x x x C = + − − −+ . D. Cả đáp án B,C đều đúng. Hướng dẫn giải Điều kiện: 1 1 0 1 1 x x x x ≥  − ≥ ⇔  ∫ bằng A. 2 1 ln ln 2 x xC ++ . B. 2 ln x xC ++ . C. 2 ln ln x xC ++ . D. 2 1 ln 2 x xC ++ . Câu 25. Tính [] 2ln 1 dx Fx xx = + ∫ A. [ ] 2 2ln 1 Fx x C = ++ B. [ ] 2ln 1 Fx x C = ++ //toanmath.com/ C. 1 [ ] 2ln 1 4 Fx x C = ++ D. 1 [ ] 2ln 1 2 Fx x C = ++ Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ln [] x fx x = là: A. 2 ln xC + B. ln xC + C. 2 ln 2 x C + D. ln 2 x C + Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 2 [ ] ln[ 1] 1 x fx x x = + + là: A. 22 1 ln [ 1] C 2 x ++ B. 2 ln[ 1] C x ++ C. 22 1 ln [ 1] C 2 x ++ D. 22 1 ln [ 1] C 2 x ++ Câu 28. Tính .ln dx xx ∫ A. ln xC + B. ln | | xC + C. ln[lnx] C + D. ln | lnx | C + Câu 29. Tìm nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 21 f x x = − thỏa mãn [ ] 57 F = . A. [ ] 22 1 F x x = − . B. [ ] 22 1 1 F x x = −+ . C. [ ] 2 14 F x x = −+ . D. [ ] 2 1 10 F x x = −− . Câu 30. Họ nguyên hàm 3 2 . 1d xx x + ∫ bằng A. 2 3 1 . [ 1] . 8 xC ++ B. 2 3 3 . [ 1] . 8 xC ++ C. 24 3 3 . [ 1] . 8 xC + + D. 24 3 1 . [ 1] . 8 xC + + Câu 31. Biết [ ] [ ] d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ với 1 ; 3 x   ∈ +∞     Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. [ ] [ ] 3 d 2 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . B. [ ] [ ] 3 d 6 ln 3 1 f xx x x C = − + ∫ . C. [ ] [ ] 3 d 6 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . D. [ ] [ ] 3 d 3 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho [] [] . f x dx F x C = + ∫ Khi đó với a ≠ 0, ta có [a ] f x b dx + ∫ bằng: A. 1 [a ] C 2 F xb a ++ B. . [a ] C aF x b ++ C. 1 [a ] C F xb a ++ D. [a ] C F xb ++ Câu 33. Hàm số 10 [ ] [1 ] fx x x = − có nguyên hàm là: A. 12 11 [ 1] [ 1] [] 12 11 xx Fx C −− = −+ . B. 12 11 [ 1] [ 1] [] 12 11 x x Fx C −− = ++ . C. 11 10 [ 1] [ 1] 11 10 xx C −− ++ . D. 11 10 [ 1] [ 1] [] 11 10 xx Fx C −− = −+ . //toanmath.com/ Câu 34. Tính 2 x [1 ] d x x + ∫ thu được kết quả là: A. [ ] 2 ln 1 xx C + + . B. 2 ln 1 x xC ++ . C. 2 ln 1 x C x + + . D. 2 2 1 .ln 21 x C x + + . Câu 35. Tính [ ] 3 1 x x dx + ∫ là : A. [ ] [ ] 54 11 5 4 xx C ++ ++ B. [ ] [ ] 54 11 54 xx C ++ −+ C. 54 2 3 3 54 2 xx x x C + +− + D. 54 2 3 3 54 2 xx x xC + −+ + Câu 36. Tìm nguyên hàm 2 15 [ 7] d xx x + ∫ A. [ ] 16 2 1 7 2 x C ++ . B. [ ] 16 2 1 7 32 x C − ++ . C. [ ] 16 2 1 7 16 x C ++ . D. [ ] 16 2 1 7 32 x C ++ . Câu 37. Xét [ ] 5 34 4 3d I x x x = − ∫ . Bằng cách đặt: 4 4 3 ux = − , khẳng định nào sau đây đúng? A. 5 1 d 16 I uu = ∫ . B. 5 1 d 12 I uu = ∫ . C. 5 d I uu = ∫ . D. 5 1 d 4 I uu = ∫ . Câu 38. Cho [ ] [ ] [ ] 6 8 7 2 32 d 32 32 x x x A x B x C − = − + − + ∫ với A , B ∈  và C ∈  . Giá trị của biểu thức 12 7 AB + bằng A. 23 252 . B. 241 252 . C. 52 9 . D. 7 9 . Câu 39. Giả sử [ ] [ ] [ ] 2017 11 1d ab xx xx x C ab −− − = −+ ∫ với , ab là các số nguyên dương. Tính 2ab − bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Câu 40. Nguyên hàm của 2 1 x dx x + ∫ là: A. ln tC + , với 2 1 tx = + . B. ln tC −+ , với 2 1 tx = + . C. 1 ln 2 tC + , với 2 1 tx = + . D. 1 ln 2 tC − + , với 2 1 tx = + . Câu 41. Tính [ ] 2 4 2 d 9 x x x + ∫ là: A. [ ] 5 2 1 59 C x − + + B. [ ] 3 2 1 39 C x − + + C. [ ] 5 2 4 9 C x − + + D. [ ] 3 2 1 9 C x −+ + Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của [ ] [ ] 2017 2019 7 1 2 1 x K dx x − = + ∫ ? A. 2018 1 7 1 . 18162 2 1 x x −     +   . B. [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x + +− + . //toanmath.com/ C. [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x − + +− + . D. [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 xx x + −− + . Câu 43. Với phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm 2 1 1 dx x + ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 1 2 tC + . C. 2 tC + . D. tC + . Câu 44. Giả sử [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3d 1 1 2 31 xx C x x x x g x + = −+ + + ++ ∫ [C là hằng số]. Tính tổng các nghiệm của phương trình [ ] 0 gx = . A. 1 − . B. 1. C. 3 . D. 3 − . HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 23 f x x = + A. [ ] 2 d 23 3 f x x x x C = ++ ∫ . B. [ ] [ ] 1 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . C. [ ] [ ] 2 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . D. [ ] d 23 f x x x C = ++ ∫ . Câu 46. Hàm số [ ] F x nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 3 1 y x = + ? A. [ ] [ ] 4 3 3 1 8 F x x C = ++ . B. [ ] [ ] 4 3 4 1 3 F x x C = + + . C. [ ] [ ] 3 3 11 4 F x x x C = + ++ . D. [ ] [ ] 3 4 3 1 4 F x x C = ++ . Câu 47. Tìm hàm số [ ] F x biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x x = và [ ] 11 F = . A. [ ] 2 3 F x x x = . B. [ ] 21 33 F x x x = + . C. [ ] 11 2 22 F x x = + . D. [ ] 25 33 F x x x = − . Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 1 22 1 f x x = + . A. [ ] 1 d 2 1 2 f x x x C = ++ ∫ . B. [ ]d 2 1 f x x x C = ++ ∫ . C. [ ]d 22 1 f x x x C = ++ ∫ . D. [ ] [ ] 1 d 2 1 2 1 f x x C xx = + ++ ∫ . Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: 2 [] 1 fx x x = + là: A. [ ] 3 2 1 [] 1 3 Fx x = + B. [ ] 2 2 1 [] 1 3 Fx x = + C. [ ] 2 2 2 [] 1 2 x Fx x = + D. [ ] 2 2 1 [] 1 2 Fx x = + Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [] 2 1 fx x x = + là: A. [ ] 3 2 2 1 3 xC + + B. [ ] 3 2 21 xC − + + //toanmath.com/ C. [ ] 3 2 1 xC + + D. [ ] 3 2 1 1 3 xC − + + Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [] 2 1 fx x x = − là: A. [ ] 3 2 1 1 3 xC − + B. [ ] 3 2 1 xC −− + C. [ ] 3 2 2 1 xC − + D. [ ] 3 2 2 1 3 xC − − + Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số 3 [] 3 1 fx x x = − là: A. [ ] [ ] 75 33 1 1 31 31 21 15 x xC − + −+ . B. [ ] [ ] 64 33 11 31 31 18 12 x xC −+ − + . C. [ ] [ ] 3 3 3 1 31 31 9 x xC − + − + . D. [ ] [ ] 4 3 3 1 1 31 31 12 3 x xC − + − + . Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3 [] 2 1 2 fx x x = − là: A. [ ] [ ] 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ + B. [ ] [ ] 47 33 3 12 3 12 8 14 xx C −− −+ + C. [ ] [ ] 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ D. [ ] [ ] 47 33 3 12 3 12 8 14 x x C − − −+ Câu 54. Cho 32 5d I x x x = + ∫ , đặt 2 5 ux = + khi đó viết I theo u và du ta được A. 4 2 [ 5 ]d . I u uu = − ∫ B. 2 d. I uu = ∫ C. 43 [ 5 ]d . I u uu = − ∫ D. 43 [ 5 ]d . I u uu = + ∫ Câu 55. Cho 4 0 1 2d I x xx = + ∫ và 2 1 u x = + . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. [ ] 3 22 1 1 1 d 2 I x x x = − ∫ . B. [ ] 3 22 1 1 d I uu u = − ∫ . C. 3 53 1 1 25 3 uu I  = −   . D. [ ] 3 22 1 1 1 d 2 I uu u = − ∫ . Câu 56. Khi tính nguyên hàm 3 d 1 x x x − + ∫ , bằng cách đặt 1 ux = + ta được nguyên hàm nào? A. [ ] 2 2 4d uu u − ∫ . B. [ ] 2 4d uu − ∫ . C. [ ] 2 2 4d uu − ∫ . D. [ ] 2 3d uu − ∫ . Câu 57. Cho [ ] 2 2 [] 2 1 5 1 x fx x x = ++ + , biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x thỏa [ ] 06 F = . Tính 3 4 F    . A. 125 16 . B. 126 16 . C. 123 16 . D. 127 16 . Câu 58. Tính tích phân: 5 1 d 31 x I x x = + ∫ được kết quả ln 3 ln 5 Ia b = + . Tổng ab + là A. 2 . B. 3 . C. 1 − . D. 1. Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 3 2 1 x f x x = − là: //toanmath.com/ A. [ ] 22 1 21 3 x xC + −+ B. [ ] 22 1 11 3 x xC − + −+ C. [ ] 22 1 11 3 x xC + −+ D. [ ] 22 1 21 3 x xC − + −+ Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 [] 1 x fx x = + là: A. 2 1 xC ++ B. 2 1 21 C x + + C. 2 21 xC ++ D. 2 41 xC ++ Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số 2 4 [] 4 x fx x = − là: A. 2 24 xC − −+ . B. 2 44 xC −+ . C. 2 4 2 x C − − + . D. 2 44 xC − −+ . Câu 62. Với phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm 2 1 23 I dx x x = − + + ∫ bằng: A. sin tC + . B. tC −+ . C. costC − + . D. tC + . Câu 63. Biết rằng trên khoảng 3 ; 2  +∞   , hàm số [ ] 2 20 30 7 23 x x f x x −+ = − có một nguyên hàm [ ] [ ] 2 23 F x ax bx c x = ++ − [ a , b , c là các số nguyên]. Tổng S abc = ++ bằng A. 4 . B. 3. C. 5 . D. 6 . Câu 64. 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng [ ] 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. , ab ∈ ∅ D. 1; 2 . Câu 65. Tìm [ ] 1 1 n n n dx T x + = + ∫ ? A. 1 1 1 n n TC x −  = ++   B. 1 1 1 n n TC x  = ++   C. [ ] 1 1 n n T x C − = + + D. [ ] 1 1 n n T x C = ++ . Câu 66. Tìm 2 12 2 x R dx xx − = + ∫ ? A. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − + + − với 1 arctan 22 x t  =   . B. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − − + − với 1 arctan 22 x t  =   . C. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt R C t + =++ − với 1 arctan 22 x t  =   . D. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + =−+ − với 1 arctan 22 x t  =   . //toanmath.com/ HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với cos , sin t xu x = = , nguyên hàm của [ ] tan cot I x x dx = + ∫ là: A. ln ln t uC −+ + . B. ln ln t uC − + . C. ln ln t uC ++ . D. ln ln t uC −− + . Câu 68. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 3 sin .cos f x x x = và [ ] 0 F π = . Tính 2 F π    . A. 2 F π π  = −   . B. 2 F π π  =   . C. 1 24 F π π  = −+   . D. 1 24 F π π  = +   . Câu 69. Tìm nguyên hàm 2 sin 2 d 1 sin x x x + ∫ . Kết quả là A. 2 1 sin 2 x C + + . B. 2 1 sin xC + + . C. 2 1 sin xC −+ + . D. 2 2 1 sin xC + + . Câu 70. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 3 sin 2 .cos 2 f x x x = thỏa 0 4 F π  =   là A. [ ] 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −+ . B. [ ] 35 11 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . C. [ ] 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −− . D. [ ] 35 11 4 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 5 tan f x x = . A. [ ] 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − ++ ∫ . B. [ ] 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + −+ ∫ . C. [ ] 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + ++ ∫ . D. [ ] 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − −+ ∫ . Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm của 3 2sin 2cos 1 sin 2 x x I dx x + = − ∫ là: A. 3 2 tC + . B. 3 6 tC + . C. 3 3 tC + . D. 3 12 tC + . HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 3 21 x f x xe + = A. 5 3 42 1 1 2 d ln 4 t t t t t tC t − − − −  −+ − = − − +   ∫ . B. [ ] 3 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . C. [ ] 3 1 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . D. [ ] 3 3 1 d 3 x x f x x e C + = + ∫ . Câu 74. Tìm nguyên hàm d 1 x x I e = + ∫ . //toanmath.com/ A. ln 1 x Ix e C =− −+ . B. ln 1 x Ix e C =+ ++ . C. ln 1 x I x eC =−− + + . D. ln 1 x Ix e C =− ++ . Câu 75. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 1 2e 3 x f x = + thỏa mãn [ ] 0 10 F = . Tìm [ ] F x . A. [ ] [ ] [ ] 1 ln 5 ln 2e 3 10 33 x F x x = − + ++ . B. [ ] [ ] [ ] 1 10 ln 2e 3 3 x F x x = +− + . C. [ ] 13 ln e 10 ln 5 ln 2 3 2 x F x x    = − + ++ −       . D. [ ] 1 3 ln 5 ln 2 ln e 10 3 2 3 x F x x   −  = − + +−       . Câu 76. Với phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm ln 2x dx x ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 2 tC + . C. 2 2tC + . D. 2 4tC + . Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số [ ] sin cos 2 .2 cos sin xx y xx = − ? A. sin cos 2 xx yC + = + . B. sin cos 2 .2 ln 2 xx y = . C. sin cos ln 2.2 xx y + = . D. sin cos 2 ln 2 xx yC + = −+ . Câu 78. Cho hàm số ln 2 [] 2 x fx x = . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số [] fx ? A. [] 2 x Fx C = + . B. [ ] [ ] 22 1 x Fx C = −+ . C. [ ] [ ] 22 1 x Fx C = + + . D. 1 [] 2 x Fx C + = + . Câu 79. Nguyên hàm của [ ] 1 ln .ln x f x xx + = là A. 1 ln d ln ln .ln x x xC xx + = + ∫ . B. 2 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . C. 1 ln d ln ln .ln x x x xC xx + = ++ ∫ . D. 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . Câu 80. [ ] [ ] 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng [ ] 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3. C. 3; 2 . D. 6; 1. Câu 81. Tìm [ ] [ ] 32 1 1 . 11 x x ex x I dx x ex −+ − = − −+ ∫ ? A. [ ] ln . 1 1 x Ix e x C = + −+ + . B. [ ] ln . 1 1 x Ix e x C = − −+ + . C. [ ] ln . 1 1 x I ex C = −+ + . D. [ ] ln . 1 1 x I ex C = −− + . Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] [ ] 2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x xx f x ex e + ++ =  +   ? //toanmath.com/ A. [ ] [ ] 2 2 ln 1 1008ln ln 1 1 xx  + + + +  . B. [ ] [ ] 22 ln 1 2016ln ln 1 1 xx  + + + +  . C. [ ] [ ] 22 1 ln 1 2016ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . D. [ ] [ ] 2 2 1 ln 1 1008ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . Câu 83. Tìm [ ] [ ] 22 2 2 2 1 2ln . ln ln x xx x G dx x x x ++ + = + ∫ ? A. 11 ln GC x x x − =−+ + . B. 11 ln GC xx x =−+ + . C. 11 ln GC xx x =−+ + . D. 11 ln GC x x x =++ + . Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của [ ] [ ] 1 1 ln .ln . ln n nn x hx x xx x − − = + ? A. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + . B. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn + + + . C. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + + . D. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − − + − . //toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu 1. Cho hàm số [ ] 2 2 1 x f x x = + . Khi đó: A. [ ] [ ] 2 2ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . B. [ ] [ ] 2 3ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . C. [ ] [ ] 2 4ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . D. [ ] [ ] 2 ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 22 1 2x. ln 1 11 d x dx xC xx + = = ++ ++ ∫∫ . Chọn D Câu 2. Cho hàm số [ ] [ ] 4 2 1 f x xx = + . Biết F[x] là một nguyên hàm của [] fx đồ thị hàm số [ ] y F x = đi qua điểm [ ] 1;6 M . Khi đó F[x] là: A. [ ] [ ] 4 2 1 2 4 5 x F x + = − . B. [ ] [ ] 5 2 1 15 10 8 x F x + = − . C. [ ] [ ] 5 2 1 15 10 8 x F x + = + . D. [ ] [ ] 5 2 1 14 1 10 5 F x x = ++ . Hướng dẫn giải Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 44 5 2 22 2 11 1 1 1 1 2 10 F x x xdx xd x x C = + = + += + + ∫∫ [ ] [ ] [ ] [ ] 5 5 2 1 14 1 14 1;6 [ ] : [ ] 6 1 1 1 10 5 10 5 M C y Fx C C F x x ∈ = ⇔= + + ⇔ = ⇒ = + + Chọn D Câu 3. Tính 2 2 1 x dx x − − ∫ thu được kết quả là: A. 1 1 x C x + + − . B. 1 x C x + − . C. 1 1 C x + − . D. 2 ln 1 xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 2 2 1 2. ln 1 1 1 dx x dx xC x x − − = = −+ − − ∫∫ . Chọn D Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 1 [] 4 x fx xx + = ++ là: A. 2 2ln 4 xx C ++ + . B. 2 ln 4 xx C ++ + . C. 2 ln 4 2 xx C ++ + . D. 2 4ln 4 xx C ++ + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 22 4 2 1 ln 4 44 d x x x dx x x C xx xx ++ + = = ++ + ++ ++ ∫∫ . Chọn B //toanmath.com/ Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 [] 44 x fx x x + = +− là : A. 2 1 .ln 4 4 2 x x C + − + . B. 2 ln 4 4 x x C + − + . C. 2 2ln 4 4 x x C + − + . D. 2 4ln 4 4 x x C + − + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 22 44 21 1 . .ln 4 4 44 2 4 4 2 d x x x dx x x C x x x x ++ + = = + − + +− ++ ∫∫ . Chọn A Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 [] 4 x fx x = + là: A. 2 2ln 4 xC ++ B. 2 ln 4 2 x C + + C. 2 ln 4 xC ++ D. 2 4ln 4 xC ++ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 22 4 2 ln 4 44 d x x xC x x + = = ++ + + ∫∫ Chọn C Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 3 [] 4 x fx x = + là: A. 3 3ln 4 xC ++ B. 3 3ln 4 xC − ++ C. 3 ln 4 xC ++ D. 3 ln 4 xC − ++ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 3 2 3 33 4 3. ln 4 44 d x x dx xC xx + = = ++ ++ ∫∫ Chọn C Câu 8. Một nguyên hàm của 2 [] 1 x fx x = + là: A. 1 ln 1 2 x + B. [ ] 2 2ln 1 x + C. 2 1 ln[ 1] 2 x + D. 2 ln[ 1] x + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2 2 22 1 .1 1 ln 1 12 1 2 d x x dx x xx + = = + ++ ∫∫ Chọn C Câu 9. Tính 3 4 [] 1 x F x dx x = − ∫ A. 4 [ ] ln 1 Fx x C = −+ B. 4 1 [ ] ln 1 4 Fx x C = −+ C. 4 1 [ ] ln 1 2 Fx x C = −+ D. 4 1 [ ] ln 1 3 Fx x C = −+ Ta có: 34 4 44 1 [ 1] 1 ln 1 1 4 14 x dx dx x C xx − = = −+ −− ∫∫ Hướng dẫn giải //toanmath.com/ Ta có: 34 4 44 1 [ 1] 1 ln 1 1 4 14 x dx dx x C xx − = = −+ −− ∫∫ Chọn B Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số sin [] cos 3 x fx x = − là: A. ln cos 3 xC − −+ B. 2ln cos 3 xC −+ C. ln cos 3 2 x C − −+ D. 4ln cos 3 xC −+ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] cos 3 sin ln cos 3 cos 3 cos 3 dx x dx x C xx − − = =− −+ −− ∫∫ Chọn A Câu 11. Biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] sin 1 3cos x f x x = + và 2 2 F π  =   . Tính [ ] 0. F A. [ ] 1 0 ln 2 2 3 F = − + . B. [ ] 2 0 ln 2 2 3 F = −+ . C. [ ] 2 0 ln 2 2 3 F = −− . D. [ ] 1 0 ln 2 2 3 F = − − . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] d 1 3cos sin 1 1 d ln 1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3 x x x xC xx + = − = − + + ++ ∫∫ . Do [ ] 2 2 2 0 ln 2 2 23 F CF π  =⇔=⇒ = − +   . Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: 23 . y sin x cos x = là: A. 35 11 sin sin 35 x xC −+ . B. 35 11 sin sin 3 5 x xC −+ + . C. 35 sin sin x xC ++ . D. 35 sin sin x xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 23 2 4 sin .cos . sin .cos . x dx sin x x x dx = − ∫∫ [ ] [ ] 35 24 sin sin sin . sin 35 xx sin x x d x C = − = −+ ∫ . Chọn A Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: 3 . y sin x cosx = là: A. 4 1 cos 4 xC + . B. 4 1 sin 4 xC + . C. 3 1 sin 3 xC + . D. 2 cos xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 4 33 sin sin .cos . sin . sin 4 x x xdx xd x C = = + ∫∫ . Chọn B Câu 14. Tính 2 cos .sin . x x dx ∫ A. 3sin sin 3 12 xx C − + B. 3cos cos3 12 xx C − + C. 3 sin 3 x C + D. 2 sinx.cos xC + //toanmath.com/ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 3 22 sin cos .sin . sin . sin 3 x x xdx xd x C = = + ∫ ∫ Chọn C Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 1 sin f x x = là: A. ln cot 2 x C + B. ln tan 2 x C + C. ln tan 2 x C −+ D. ln sin xC + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 22 2 cos sin . sin . 1 cos 1 ln sin 1 cos cos 1 cos 1 2 cos 1 dx dx x dx x dx x C x x x x x −− = = = = + − − − + ∫∫ ∫ ∫ Chọn B Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] tan f x x = là: A. ln cos xC + B. ln cos xC − + C. 2 tan 2 x C + D. [ ] ln cos xC + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] sin . tan . ln cos cos cos d cosx x dx x dx x C x x == − = − + ∫∫ ∫ Chọn B Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 2 1 2sin 2sin 4 x fx x π − =  +   . A. [ ] d ln sin cos f x x x x C = ++ ∫ . B. [ ] 1 d ln sin cos 2 f x x x x C = ++ ∫ . C. [ ] d ln 1 sin 2 f x x x C =++ ∫ . D. [ ] 1 d ln 1 sin 2 2 f x x x C = ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng công thức 2 22 1 2sin cos 2 cos sin x x xx −= = − và [ ] 2 2 2sin sin cos 4 x x x π  += +   Hàm số được rút gọn thành [ ] cos sin sin cos xx f x x x − = + Nguyên hàm [ ] [ ] d sin cos d sin cos x x f x x x x + = + ∫∫ = ln sin cos x xC ++ Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số [] 3 x x e fx e = + là: A. 3 x eC − − + B. 39 x eC + + C. 2ln 3 x eC − + + D. ln 3 x eC ++ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 3 ln 3 33 x x x x x de e dx e C ee + = = ++ ++ ∫∫ Chọn D //toanmath.com/ Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [] 2 2 x fx x = là: A. 2 1 ln 2.2 x C + B. 2 1 .2 ln 2 x C + C. 2 ln 2 2 x C + D. 2 ln 2.2 x C + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 2 22 1 11 2 .2 2 .2 .ln 2 2 .2 ln 2 ln 2 ln 2 x x xx x dx x d C = = = + ∫∫ ∫ Chọn B Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [] 2 x f x xe = là: A. 2 x e C − + . B. 2 2 x e C + . C. x eC −+ . D. 2 x eC + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 22 2. x x x x e dx d e e C = = + ∫ ∫ . Chọn D Câu 21. Tính 2 1 . x x e dx + ∫ A. 2 1 x eC + + . B. 2 1 2 x eC + . C. 2 1 1 2 x eC + + . D. 2 1 1 2 x eC − + . Hướng dẫn giải Ta có: 2 22 1 11 11 [] 22 x xx I xe dx d e e C + ++ = = = + ∫∫ . Chọn C Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] ln x f x x = . A. [ ] 2 d ln f x x x C = + ∫ . B. [ ] 2 1 d ln 2 f x x x C = + ∫ . C. [ ] d ln f x x x C = + ∫ D. [ ] d x f x x e C = + ∫ Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] [ ] d ln d ln f x x x x = ∫∫ 2 1 ln 2 xC = + . Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số ln 2 [] x fx x = là : A. ln 2xC + . B. 2 ln xC + . C. 2 ln 2 2 x C + . D. ln 2 x C + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 ln 2 ln 2 ln 2 . ln 2 2 xx dx x d x C x = = + ∫∫ . Chọn C Câu 24. Nguyên hàm [ ] 1 ln d0 x x x x + > ∫ bằng A. 2 1 ln ln 2 x xC ++ . B. 2 ln x xC ++ . C. 2 ln ln x xC ++ . D. 2 1 ln 2 x xC ++ . //toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 1 ln 1 ln dd d x x xx x x xx + = + ∫ ∫∫ [ ] 2 1 1 d ln d ln ln ln 2 x x x x xC x = + =++ ∫∫ . Câu 25. Tính [] 2ln 1 dx Fx xx = + ∫ A. [ ] 2 2ln 1 Fx x C = ++ B. [ ] 2ln 1 Fx x C = ++ C. 1 [ ] 2ln 1 4 Fx x C = ++ D. 1 [ ] 2ln 1 2 Fx x C = ++ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ 2ln 1] 2ln 1 Fx d x x C = + = ++ ∫ . Chọn B Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ln [] x fx x = là: A. 2 ln xC + B. ln xC + C. 2 ln 2 x C + D. ln 2 x C + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 ln ln ln . lnx 2 xx dx x d C x = = + ∫∫ Chọn C Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 2 [ ] ln[ 1] 1 x fx x x = + + là: A. 22 1 ln [ 1] C 2 x ++ B. 2 ln[ 1] C x ++ C. 22 1 ln [ 1] C 2 x ++ D. 22 1 ln [ 1] C 2 x ++ Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 2 22 2 21 ln[ 1] ln[ 1]d[ln[ 1]] ln [ 1] C 12 x x dx x x x x + = + + = ++ + ∫∫ Chọn D Câu 28. Tính .ln dx xx ∫ A. ln xC + B. ln | | xC + C. ln[lnx] C + D. ln | lnx | C + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] ln ln ln .ln ln dx dx xC xx x = = + ∫∫ Chọn D Câu 29. Tìm nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 21 f x x = − thỏa mãn [ ] 57 F = . A. [ ] 22 1 F x x = − . B. [ ] 22 1 1 F x x = −+ . C. [ ] 2 14 F x x = −+ . D. [ ] 2 1 10 F x x = −− . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] d2 1 2 d2 21 2 21 x x xx − = −− ∫∫ 22 1 xC = −+ ; //toanmath.com/ Do [ ] 57 F = nên 67 C += 1 C ⇒= . Câu 30. Họ nguyên hàm 3 2 . 1d xx x + ∫ bằng A. 2 3 1 . [ 1] . 8 xC ++ B. 2 3 3 . [ 1] . 8 xC ++ C. 24 3 3 . [ 1] . 8 xC + + D. 24 3 1 . [ 1] . 8 xC + + Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 2 . 1d xx x + ∫ [ ] [ ] 1 22 3 1 1d 1 2 xx = ++ ∫ [ ] 4 2 3 3 1 8 xC = + + [ ] 4 2 3 3 1 8 x C = ++ . Câu 31. Biết [ ] [ ] d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ với 1 ; 3 x   ∈ +∞   Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. [ ] [ ] 3 d 2 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . B. [ ] [ ] 3 d 6 ln 3 1 f xx x x C = − + ∫ . C. [ ] [ ] 3 d 6 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . D. [ ] [ ] 3 d 3 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . Lởi giải Chọn A Cách 1: [ ] [ ] d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ ⇒ [ ] 3d f xx ∫ [ ] [ ] 1 3 d3 3 f x x = ∫ [ ] [ ] 1 2. 3 ln 3.3 1 3 x x C = − + [ ] 2 ln 9 1 xx C = − + Cách 2: Ta có [ ] [ ] d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ [ ] [ ] [ ] 2 ln 3 1 f x x x C ′ ⇒ = − + [ ] 6 2ln 3 1 31 x x x = − + − . Khi đó [ ] [ ] 18 3 2ln 9 1 91 x f x x x = − + − . [ ] 3d f xx ∫ [ ] 18 2ln 9 1 d 91 x xx x  = − +  −  ∫ [ ] 2 2 ln 9 1 d 2 d 91 x x x x  = − ++  −  ∫∫ [ ] [ ] [ ] 22 91 ln 91 9 2 ln 91 99 x x xx x C = − − − + + − +   [ ] 2ln 9 1 x C = − + . //toanmath.com/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Nếu [ ] [ ] d f x x F x C = + ∫ thì [ ] [ ] [ ] .' d f u x u x x F ux C = +         ∫ . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm [ ] d I f x x = ∫ , trong đó ta có thể phân tích [ ] [ ] [ ] [ ] ' f x gu x u x = thì ta thực hiện phép đổi biến số [ ] t ux = , suy ra [ ] d 'd t ux x = . Khi đó ta được nguyên hàm: [ ] [ ] [ ] d. g t t Gt C G u x C = += +     ∫ Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay [ ] t ux = . HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho [] [] . f x dx F x C = + ∫ Khi đó với a ≠ 0, ta có [a ] f x b dx + ∫ bằng: A. 1 [a ] C 2 F xb a ++ B. . [a ] C aF x b ++ C. 1 [a ] C F xb a ++ D. [a ] C F xb ++ Hướng dẫn giải Ta có: [ ] I f ax b dx = + ∫ Đặt: 1 t ax b dt adx dt dx a = +⇒ = ⇒ = . Khi đó: [ ] [ ] 11 I f t dt F t C aa = = + ∫ Suy ra: [ ] 1 I F ax b C a = ++ Chọn C Câu 33. Hàm số 10 [ ] [1 ] fx x x = − có nguyên hàm là: A. 12 11 [ 1] [ 1] [] 12 11 xx Fx C −− = −+ . B. 12 11 [ 1] [ 1] [] 12 11 x x Fx C −− = ++ . C. 11 10 [ 1] [ 1] 11 10 xx C −− ++ . D. 11 10 [ 1] [ 1] [] 11 10 xx Fx C −− = −+ . Hướng dẫn giải Ta có: I [ ] 10 . 1 . x x dx = − ∫ . Đăt: 1 ,1 t x dt dx x t = − ⇒− = = − . Khi đó [ ] 10 11 10 12 11 11 1 . . [ ]. 12 11 I t t dt t t dt t t c =− = − = −+ ∫∫ Suy ra [ ] [ ] 12 11 11 1 1 12 11 I x xC = − − −+ . Chọn A Câu 34. Tính 2 x [1 ] d x x + ∫ thu được kết quả là: A. [ ] 2 ln 1 xx C + + . B. 2 ln 1 x xC ++ . C. 2 ln 1 x C x + + . D. 2 2 1 .ln 21 x C x + + . Hướng dẫn giải //toanmath.com/ Ta có: 2 22 xx [1 ] [1 ] d xd x x x x = ++ ∫∫ . Đặt: 22 1 1 ., 1 2 t x dt x dx x t =+⇒ = =− . Khi đó: [ ] 2 2 11 1 1 1 . .ln ln . 2 . 1 2 2 1 t x I dt C I C t t t x − = = + ⇒= + −+ ∫ Chọn D Câu 35. Tính [ ] 3 1 x x dx + ∫ là : A. [ ] [ ] 54 11 5 4 xx C ++ ++ B. [ ] [ ] 54 11 54 xx C ++ −+ C. 54 2 3 3 54 2 xx x x C + +− + D. 54 2 3 3 54 2 xx x xC + −+ + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 3 1 I x x dx = + ∫ Đặt: 1 ,1 t x dt dx x t = + ⇒ = = − Khi đó: [ ] [ ] 54 3 43 1. . 54 tt I t t dt t t dt C  = − = − = −+   ∫∫ Suy ra: [ ] [ ] 54 11 54 xx IC ++ = −+ Chọn B Câu 36. Tìm nguyên hàm 2 15 [ 7] d xx x + ∫ A. [ ] 16 2 1 7 2 x C ++ . B. [ ] 16 2 1 7 32 x C − ++ . C. [ ] 16 2 1 7 16 x C ++ . D. [ ] 16 2 1 7 32 x C ++ . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 2 1 7 d 2d d d 2 t x t x x x x t = +⇒ = ⇒ = Ta có [ ] 16 16 2 15 15 2 11 1 [ 7] d d . 7 2 2 16 32 t xx x t t C x C + = = += + + ∫ ∫ . Câu 37. Xét [ ] 5 34 4 3d I x x x = − ∫ . Bằng cách đặt: 4 4 3 ux = − , khẳng định nào sau đây đúng? A. 5 1 d 16 I uu = ∫ . B. 5 1 d 12 I uu = ∫ . C. 5 d I uu = ∫ . D. 5 1 d 4 I uu = ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A 4 33 1 4 3 d 16 d d d 16 u x u xx u xx = −⇒ = ⇒ = . 5 1 d 16 I uu ⇒= ∫ . Câu 38. Cho [ ] [ ] [ ] 6 8 7 2 32 d 32 32 x x x A x B x C − = − + − + ∫ với A , B ∈  và C ∈  . Giá trị của biểu thức 12 7 AB + bằng A. 23 252 . B. 241 252 . C. 52 9 . D. 7 9 . Hướng dẫn giải Chọn D //toanmath.com/ Đặt 32 tx = − 2 3 t x + ⇒= 1 dd 3 tx ⇒ = . Ta có: 6 22 .d 33 t t t + ∫ [ ] 76 2 +2 d 9 t tt = ∫ 87 24 .. 98 9 7 tt C = + + [ ] [ ] 87 14 .3 2 .3 2 36 63 x xC = − + − + . Suy ra 1 36 A = , 4 63 B = , 1 47 12. 7. 36 63 9 += . Câu 39. Giả sử [ ] [ ] [ ] 2017 11 1d ab xx xx x C ab −− − = −+ ∫ với , ab là các số nguyên dương. Tính 2ab − bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Hướng dẫn giải Tacó: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2018 2019 2017 2017 2017 2018 1 1 1 d 111 d 1 1 d 2018 2019 x x x xx x xx x x x C − − −=−+ −=− −− = − + + ∫∫ ∫ Vậy 2019, 2018 2 2020 a b ab = = ⇒ −= . Chọn D Câu 40. Nguyên hàm của 2 1 x dx x + ∫ là: A. ln tC + , với 2 1 tx = + . B. ln tC −+ , với 2 1 tx = + . C. 1 ln 2 tC + , với 2 1 tx = + . D. 1 ln 2 tC − + , với 2 1 tx = + . Hướng dẫn giải Đặt 2 12 t x dt xdx = + ⇒ = . 2 11 1 ... ln 1 22 x dx dt t C xt ⇒= ==+ + ∫∫ . Chọn C Câu 41. Tính [ ] 2 4 2 d 9 x x x + ∫ là: A. [ ] 5 2 1 59 C x − + + B. [ ] 3 2 1 39 C x − + + C. [ ] 5 2 4 9 C x − + + D. [ ] 3 2 1 9 C x −+ + Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 2 4 2 d 9 x Ix x = + ∫ Đặt: 2 9 2. t x dt x dx = +⇒ = Khi đó: I 4 43 1 . 3 dt t dt C t t − == = −+ ∫∫ Suy ra: [ ] 2 1 39 IC x = − + + Chọn B Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của [ ] [ ] 2017 2019 7 1 2 1 x K dx x − = + ∫ ? //toanmath.com/ A. 2018 1 7 1 . 18162 2 1 x x −     +   . B. [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x + +− + . C. [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x − + +− + . D. [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 xx x + −− + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] [ ] 2017 2017 2019 2 7 1 7 1 1 . 2 1 2 1 2 1 x x K dx dx x xx − −   = =   +   ++ ∫∫ Đặt [ ] [ ] 2 2 7 1 9 1 2 1 9 2 1 98 1 x dt t dt dx dx x xx − = ⇒= ⇔ = + ++ 2018 2018 2017 1 1 7 1 . 9 18162 18162 2 1 tx K t dt C C x −   ⇒ = = += +   +   ∫ Chọn D Câu 43. Với phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm 2 1 1 dx x + ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 1 2 tC + . C. 2 tC + . D. tC + . Hướng dẫn giải Ta đặt: 2 1 tan , ; 2 2 cos x t t dx dt t ππ  = ∈− ⇒ =   . 2 1 ... 1 dx dt t C x ⇒= == + + ∫∫ . Chọn D Câu 44. Giả sử [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3d 1 1 2 31 xx C x x x x g x + = −+ + + ++ ∫ [C là hằng số]. Tính tổng các nghiệm của phương trình [ ] 0 gx = . A. 1 − . B. 1. C. 3 . D. 3 − . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] [ ] [ ] 1 2 31 x x x x + + + += [ ] [ ] 22 3 3 2 1 xx xx + + ++ [ ] 2 2 3 1 xx  = ++  . Đặt 2 3 tx x = + , khi đó [ ] d 2 3d tx x = + . Tích phân ban đầu trở thành [ ] 2 d1 1 1 t C t t = −+ + + ∫ . Trở lại biến x , ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 3d 1 1 2 31 3 1 xx C x x x x x x + = −+ + + ++ + + ∫ . Vậy [ ] 2 31 gx x x = + + . [ ] 2 35 0 3 10 2 gx x x x −+ = ⇔ + += ⇔ = hoặc 35 2 x −− = . Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 − . //toanmath.com/ HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 23 f x x = + A. [ ] 2 d 23 3 f x x x x C = ++ ∫ . B. [ ] [ ] 1 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . C. [ ] [ ] 2 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . D. [ ] d 23 f x x x C = ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Xét [ ] 2 3 d I xx = + ∫ . Đặt 23 xt += 2 23 tx ⇔= + 2 d 2d tt x ⇔= . 2 .d t d I t t t t = = ∫∫ 3 1 3 tC = + [ ] 3 1 23 3 xC = + + [ ] [ ] 1 d 23 23 3 f x x x x C ⇔ = + ++ ∫ . Câu 46. Hàm số [ ] F x nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 3 1 y x = + ? A. [ ] [ ] 4 3 3 1 8 F x x C = ++ . B. [ ] [ ] 4 3 4 1 3 F x x C = + + . C. [ ] [ ] 3 3 11 4 F x x x C = + ++ . D. [ ] [ ] 3 4 3 1 4 F x x C = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 3 1d I xx = + ∫ . Đặt: 3 1 tx = + 3 1 tx ⇒= + 2 3d d tt x ⇒= . 2 .3 d I tt t ⇒= ∫ 3 3d tt = ∫ 4 3 4 tC = + [ ] 4 3 3 1 4 xC = + + [ ] 3 3 11 4 x x C = + ++ . Vậy [ ] [ ] 3 3 11 4 F x x x C = + ++ 1 8 T. Câu 47. Tìm hàm số [ ] F x biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x x = và [ ] 11 F = . A. [ ] 2 3 F x x x = . B. [ ] 21 33 F x x x = + . C. [ ] 11 2 22 F x x = + . D. [ ] 25 33 F x x x = − . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] d F x x x = ∫ Đặt tx = suy ra 2 tx = và d 2d xt = . Khi đó 3 2 .2 d 3 I t tt t C = = + ∫ 2 3 I x x C ⇒= + . Vì [ ] 11 F = nên 1 3 C = .Vậy [ ] 21 33 F x x x = + . Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 1 22 1 f x x = + . A. [ ] 1 d 2 1 2 f x x x C = ++ ∫ . B. [ ]d 2 1 f x x x C = ++ ∫ . //toanmath.com/ C. [ ]d 22 1 f x x x C = ++ ∫ . D. [ ] [ ] 1 d 2 1 2 1 f x x C xx = + ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1 xt += 2 2 1 xt ⇒ += d dt x t ⇒=. Khi đó ta có 1 2 1d 2 xx + ∫ 1 dt 2 t t = ∫ = 1 dt 2 = ∫ 1 2 tC = + 1 2 1 2 x C = ++ . Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: 2 [] 1 fx x x = + là: A. [ ] 3 2 1 [] 1 3 Fx x = + B. [ ] 2 2 1 [] 1 3 Fx x = + C. [ ] 2 2 2 [] 1 2 x Fx x = + D. [ ] 2 2 1 [] 1 2 Fx x = + Hướng dẫn giải Ta có: 2 1 I x x dx = + ∫ Đặt: 22 2 1 1 .. t x t x t dt x dx = + ⇒ =+ ⇒ = Khi đó: I 3 2 .. 3 t t t dt t dt C = = = + ∫∫ Suy ra: I [ ] 3 2 1 1 3 xC = ++ Chọn A Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [] 2 1 fx x x = + là: A. [ ] 3 2 2 1 3 xC + + B. [ ] 3 2 21 xC − + + C. [ ] 3 2 1 xC + + D. [ ] 3 2 1 1 3 xC − + + Hướng dẫn giải Ta có: 2 21 I x x dx = + ∫ Đặt: 2 22 1 12 2 t x t x tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = . Khi đó: I 3 2 2 .2 . 2 . 3 t t t dt t dt C = = = + ∫∫ Suy ra: I [ ] 3 2 2 1 3 xC = + + . Chọn A Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số 2 [] 2 1 fx x x = − là: A. [ ] 3 2 1 1 3 xC − + B. [ ] 3 2 1 xC −− + C. [ ] 3 2 2 1 xC − + D. [ ] 3 2 2 1 3 xC − − + Hướng dẫn giải Ta có: 2 21 I x x dx = − ∫ Đặt: 22 2 1 1 22 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒− = . Khi đó: I [ ] 3 2 2 . 2 . 2. 3 t t t dt t dt K =− =− = −+ ∫∫ //toanmath.com/ Suy ra: I [ ] 3 2 2 1 3 xC = − − + . Chọn D Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số 3 [] 3 1 fx x x = − là: A. [ ] [ ] 75 33 1 1 31 31 21 15 x xC − + −+ . B. [ ] [ ] 64 33 11 31 31 18 12 x xC −+ − + . C. [ ] [ ] 3 3 3 1 31 31 9 x xC − + − + . D. [ ] [ ] 4 3 3 1 1 31 31 12 3 x xC − + − + . Hướng dẫn giải Ta có: 3 31 I x x dx = − ∫ . Đặt: 32 3 31 31 . t x t x t dt dx = − ⇒ = −⇒ = Khi đó: [ ] 3 75 2 64 1 1 1 .. . 3 3 37 5 t t t I t t dt t t dt C   + = = + = + +     ∫ ∫ Suy ra [ ] [ ] 75 33 11 1 31 31 37 5 I x x C  = −+ − +   . Chọn A Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3 [] 2 1 2 fx x x = − là: A. [ ] [ ] 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ + B. [ ] [ ] 47 33 3 12 3 12 8 14 xx C −− −+ + C. [ ] [ ] 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ D. [ ] [ ] 47 33 3 12 3 12 8 14 x x C − − −+ Hướng dẫn giải Ta có: 3 2 12 I x xdx = − ∫ Đặt: 32 3 3 12 12 . 2 t x t x t dt dx = − ⇒ = − ⇒− = . Mặt khác: 3 21 xt = − Khi đó: I 47 3 2 36 33 3 [1 ] . [t ] 2 2 24 7 tt t t t dt t dt C  = − − = − − = − − +   ∫∫ Suy ra: I [ ] [ ] 47 3 3 12 12 3 24 7 x x C  − −  = − − +   . Chọn B Câu 54. Cho 32 5d I x x x = + ∫ , đặt 2 5 ux = + khi đó viết I theo u và du ta được A. 4 2 [ 5 ]d . I u uu = − ∫ B. 2 d. I uu = ∫ C. 43 [ 5 ]d . I u uu = − ∫ D. 43 [ 5 ]d . I u uu = + ∫ Hướng dẫn giải. Chọn A Đặt 2 5 ux = + 22 5d d u x u u x x ⇒ = +⇒ = Khi đó: 32 5d I x x x = + ∫ [ ] 22 2 . . 5d 5 . . d x x x x u u u u = += − ∫∫ [ ] 4 2 5d u uu = − ∫ Câu 55. Cho 4 0 1 2d I x xx = + ∫ và 2 1 u x = + . Mệnh đề nào dưới đây sai? //toanmath.com/ A. [ ] 3 22 1 1 1 d 2 I x x x = − ∫ . B. [ ] 3 22 1 1 d I uu u = − ∫ . C. 3 53 1 1 25 3 uu I  = −   . D. [ ] 3 22 1 1 1 d 2 I uu u = − ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B 4 0 1 2d I x xx = + ∫ Đặt 2 1 u x = + [ ] 2 1 1 2 xu ⇒= − dd x uu ⇒= , đổi cận: 0 1 xu = ⇒= , 43 xu = ⇒= . Khi đó [ ] 3 22 1 1 1d 2 I u uu = − ∫ . Câu 56. Khi tính nguyên hàm 3 d 1 x x x − + ∫ , bằng cách đặt 1 ux = + ta được nguyên hàm nào? A. [ ] 2 2 4d uu u − ∫ . B. [ ] 2 4d uu − ∫ . C. [ ] 2 2 4d uu − ∫ . D. [ ] 2 3d uu − ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 1 ux = + , 0 u ≥ nên 2 1 ux = + 2 d 2 d 1 x uu x u =  ⇒  = −  . Khi đó 3 d 1 x x x − + ∫ 2 13 .2 d u uu u − − = ∫ [ ] 2 2 4d uu = − ∫ . Câu 57. Cho [ ] 2 2 [] 2 1 5 1 x fx x x = ++ + , biết [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] f x thỏa [ ] 06 F = . Tính 3 4 F    . A. 125 16 . B. 126 16 . C. 123 16 . D. 127 16 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1d d t x t t x x = + ⇒ = . [ ] 2 2 [ ]d 2 1 5 d 1 x fx x x x x = ++ + ∫ ∫ [ ] 2 2 5d 5 t t t tC = + = ++ ∫ [ ] 22 1 5 1 x xC = + + ++ . [0] 6 0 FC = ⇒= . Vậy 3 125 4 16 F  =   . Câu 58. Tính tích phân: 5 1 d 31 x I x x = + ∫ được kết quả ln 3 ln 5 Ia b = + . Tổng ab + là A. 2 . B. 3. C. 1 − . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D 5 1 31 dx I x x = + ∫ //toanmath.com/ Đặt 31 ux = + 2 1 3 u x − → = 1 2 3 dx udu →= Đổi cận: 12 xu = → = 54 xu = → = Vậy [ ] [ ] [ ] 4 44 2 2 22 11 2 1 31 ln ln ln 2ln 3 ln 5 1 1 1 1 53 uu u I du du u uu u +− − − = = = = −= − − + − + ∫∫ Do đó 2; 1 ab = = − 1 ab → + = . Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 3 2 1 x f x x = − là: A. [ ] 22 1 21 3 x xC + −+ B. [ ] 22 1 11 3 x xC − + −+ C. [ ] 22 1 11 3 x xC + −+ D. [ ] 22 1 21 3 x xC − + −+ Hướng dẫn giải Ta có : 3 2 1 x I dx x = − ∫ Đặt 22 2 11 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒− = Khi đó: 23 2 [1 ] [ 1] 3 t t I tdt t dt t C t − =− = − = − + ∫∫ . Thay 2 1 tx = − ta được [ ] 23 2 22 [1 ] 1 1 21 33 x I xC x xC − = − −+ = − + −+ . Chọn D Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 [] 1 x fx x = + là: A. 2 1 xC ++ B. 2 1 21 C x + + C. 2 21 xC ++ D. 2 41 xC ++ Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 1 x I dx x = + ∫ Đặt: 2 22 1 1 2. 2 . t x t x t dt x dx = + ⇒ = + ⇒ = . Khi đó: I 2. 2 t dt tC t = = + ∫ Suy ra: I 2 21 xC = ++ . Chọn C Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số 2 4 [] 4 x fx x = − là: A. 2 24 xC − −+ . B. 2 44 xC −+ . C. 2 4 2 x C − − + . D. 2 44 xC − −+ . Hướng dẫn giải Ta có: 2 4 4 x I dx x = − ∫ . Đặt: 22 2 4 4 44 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒− = . //toanmath.com/ Khi đó: 2 4 4 44 tdt I tC I x C t − = = − + ⇒= = − − + ∫ . Chọn D Câu 62. Với phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm 2 1 23 I dx x x = − + + ∫ bằng: A. sin tC + . B. tC −+ . C. costC − + . D. tC + . Hướng dẫn giải Ta biến đổi: [ ] 2 1 41 I dx x = − − ∫ . Đặt 1 2sin , , 2cos 22 x t t dx tdt ππ   − = ∈ − ⇒ =     . I dt t C ⇒= =+ ∫ . Chọn D Câu 63. Biết 1 7 Trằng1 7 T trên khoảng 3 ; 2  +∞   , hàm số [ ] 2 20 30 7 23 x x f x x −+ = − có một nguyên hàm [ ] [ ] 2 23 F x ax bx c x = ++ − [ a , b , c là các số nguyên]. Tổng S abc = ++ bằng A. 4 . B. 3. C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2 23 23 d d t x t x x tt = − ⇒ = −⇒ = Khi đó 2 20 30 7 d 23 x x x x −+ − ∫ 2 22 33 20 30 7 22 d tt tt t   ++ −+     = ∫ [ ] 42 5 15 7 d tt t = ++ ∫ 53 5 7 t t tC = + ++ [ ] [ ] 53 23 5 23 7 23 x x xC = − + − + −+ [ ] [ ] 2 23 23 5 23 23 7 23 x x x x xC = − −+ − −+ −+ [ ] 2 4 2 12 3 xx x C = − + −+ Vậy [ ] [ ] 2 4 2 12 3 F x x x x = −+ − . Suy ra 3 S abc = ++ = . Câu 64. 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng [ ] 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. , ab ∈ ∅ D. 1; 2 . Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: 33 22 1 1 3 1 1 3 11 22 x x dx x dx x dx xx    ++ + + ++ = ++ + +          ∫ ∫∫ . Để tìm [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ ta đặt 3 1 2 1 1 3 2 I x dx x  + = ++    ∫ và 2 1 I x dx = + ∫ và tìm 1 2 , I I . //toanmath.com/ *Tìm 3 1 2 1 1 3 2 I x dx x  + = ++    ∫ . 34 11 2 1 13 1 1 13 2 4 2 I x dx x x C xx  ++ = + + = −+ +    ∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. *Tìm 2 1 I x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 1, 0 t xt = +≥ ta được 2 1, 2 t x tdt dx =+= . Suy ra [ ] 3 23 2 22 22 12 1 33 I x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ . [ ] 3 3 4 4 12 1 2 2 1 13 1 1 13 2 1 1 13 11 2 42 3 42 x x dx I I xx C x C xx x x x  ++ + + + + + = + = −+ + + + + = −+ +    ∫ Suy ra để 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng [ ] 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + thì 1, 2 . ab =∈ =∈  Vậy đáp án chính xác là đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của , ab ở các đáp án vào [ ] 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + . Sau đó, với mỗi , ab ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 24 ab x x x xC + + − + . Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự , b a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm 2 1 I x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 1, 0 t xt = +≥ ta được 2 1, t x tdt dx =+=. Suy ra [ ] 3 23 2 22 11 11 33 I x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ . [ ] 3 3 4 4 12 1 2 2 1 13 1 1 13 1 1 1 13 11 2 42 3 42 x x dx I I xx C x C xx x x x  ++ + + + + + = + = −+ + + + + = −+ +    ∫ Suy ra để 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng [ ] 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + thì 1 , 1. ab =∈ =∈   Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm 2 1 I x dx = + ∫ . 22 1 1 21 I x dx C x = + = + + ∫ . //toanmath.com/ Suy ra 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ không thể có dạng [ ] 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + , với , ab ∈  . Nên không tồn tại , ab thỏa yêu cầu bài toán. Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 65. Tìm [ ] 1 1 n n n dx T x + = + ∫ ? A. 1 1 1 n n TC x −  = ++   B. 1 1 1 n n TC x  = ++   C. [ ] 1 1 n n T x C − = + + D. [ ] 1 1 n n T x C = ++ . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 .1 1 n n n n nn n n n n n n n dx dx x T dx x dx x x x x x − − −− −− ++ + +  = = = = +    +  + +     ∫∫ ∫ ∫ Đặt: 1 1 1 1 n nn n t dt nx x x −− + = + ⇒ =− =− 1 11 1 11 1 n nn n T t dt t C C nx − − − −  ⇒ = − = + = + +   ∫ Chọn A Câu 66. Tìm 2 12 2 x R dx xx − = + ∫ ? A. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − + + − với 1 arctan 22 x t  =   . B. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − − + − với 1 arctan 22 x t  =   . C. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt R C t + =++ − với 1 arctan 22 x t  =   . D. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + =−+ − với 1 arctan 22 x t  =   . Hướng dẫn giải Đặt 2cos 2 xt = với 0; 2 t π   ∈     Ta có: 2 2 4sin 2 . 2 2 2sin 2 4sin sin 2 2 2cos 2 4cos cos dx t dt x t tt x t tt = −    −− = = =  ++  2 2 2 2 2 1 sin 2sin 1 cos 2 . .4sin 2 . 4cos 2 cos cos 2 cos 2 1 1 tan 2 1 1 sin 2 ln cos 2 cos 2 2 4 1 sin 2 t t t R t dt dt dt t t t t tt R dt dt C tt t − ⇒ = − = − = − + ⇔ = − + = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫∫ //toanmath.com/ Chọn A HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với cos , sin t xu x = = , nguyên hàm của [ ] tan cot I x x dx = + ∫ là: A. ln ln t uC −+ + . B. ln ln t uC − + . C. ln ln t uC ++ . D. ln ln t uC −− + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] sin cos tan cot cos sin xx x x dx dx dx xx + = + ∫ ∫∫ . Xét 1 sin cos x I dx x = ∫ . Đặt 11 1 cos sin ln t x dt xdx I dt t C t = ⇒ = − ⇒= − = − + ∫ . Xét 2 cos sin x I dx x = ∫ . Đặt 2 2 1 sin cos ln u x du xdx I du u C u = ⇒ = ⇒ = = + ∫ . 12 ln ln I I I t uC ⇒=+ = − + + Chọn A Câu 68. Biết4 6 T [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 3 sin .cos f x x x = và [ ] 0 F π = . Tính 2 F π    . A. 2 F π π  = −   . B. 2 F π π  =   . C. 1 24 F π π  = −+   . D. 1 24 F π π  = +   . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt sin tx = d cos d t x x ⇒= . [ ] [ ] d F x f x x = ∫ 3 sin cos d x x x = ∫ 3 d tt = ∫ 4 4 t C = + 4 sin 4 x C = + . [ ] 0 F π = 4 sin 4 C π π ⇒ += C π ⇔= [ ] 4 sin 4 x F x π ⇒= + . 4 sin 2 24 F π π  =   1 4 π = + . Câu 69. Tìm nguyên hàm 2 sin 2 d 1 sin x x x + ∫ . Kết quả là A. 2 1 sin 2 x C + + . B. 2 1 sin xC + + . C. 2 1 sin xC −+ + . D. 2 2 1 sin xC + + . Hướng dẫn giải. Chọn D Đặt 2 1 sin tx = + 22 1 sin 2 d sin 2 d t x t t x x ⇒ =+ ⇒ = ⇒ 2 sin 2 2 dd 1 sin xt x t t x = + ∫ ∫ 2 2d 2 2 1 sin t tC x C = = += + + ∫ Câu 70. Nguyên hàm [ ] F x của hàm số [ ] 2 3 sin 2 .cos 2 f x x x = thỏa 0 4 F π  =   là //toanmath.com/ A. [ ] 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −+ . B. [ ] 35 11 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . C. [ ] 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −− . D. [ ] 35 11 4 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt sin 2 tx = d 2.cos 2 d t x x ⇒= 1 d cos 2 d 2 t x x ⇒= . Ta có: [ ] 2 3 sin 2 .cos 2 d F x x x x = ∫ [ ] 22 1 .1 d 2 t tt = − ∫ [ ] 24 1 d 2 tt t = − ∫ 35 11 6 10 t tC = −+ 35 1 1 sin 2 sin 2 6 10 x xC = −+ . 0 4 F π  =   35 11 sin sin 0 6 2 10 2 C ππ ⇔ − += 1 15 C ⇔= − . Vậy [ ] 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −− . Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 5 tan f x x = . A. [ ] 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − ++ ∫ . B. [ ] 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + −+ ∫ . C. [ ] 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + ++ ∫ . D. [ ] 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − −+ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] 5 5 5 sin d tan d d cos x I f x x x x x x = = = ∫ ∫∫ [ ] [ ] 22 22 55 1 os . 1 os .sinx sin .sin .sinx dd cos cos cx cx x xx xx −− = = ∫∫ Đặt cos d sin d t x t x x = ⇒= − [ ] [ ] [ ] [ ] 22 24 5 5 1 .1 12 dd t t tt I tt tt − − −+ = −= − ∫∫ 5 3 1 21 dt t tt  = −+ − =   ∫ 5 3 42 1 1 2 d ln 4 t t t t t tC t − − − −  −+ − = − − +   ∫ 42 42 1 11 1 cos cos ln cos . ln cos 4 4 cos cos x x xC xC x x −− = − −+= − − + [ ] [ ] 2 22 1 . tan 1 tan 1 ln cos 4 x x xC = + − + − + [ ] [ ] 42 2 1 tan 2 tan 1 tan 1 ln cos 4 x x x x C = + + − + − + 42 11 1 tan tan ln cos 42 4 x x x C = − − ++ 42 11 tan tan ln cos 42 x x x C = −− + . //toanmath.com/ Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm của 3 2sin 2cos 1 sin 2 x x I dx x + = − ∫ là: A. 3 2 tC + . B. 3 6 tC + . C. 3 3 tC + . D. 3 12 tC + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 3 2 3 2 sin cos 2sin 2cos 1 sin 2 sin cos x x x x I dx dx x xx + + = = − − ∫∫ . Đặt [ ] sin cos sin cos t x x dt x x dx = − ⇒= + . 1 3 3 3 2 21 2. 6 2 1 3 I dt t C t C t ⇒= = + = +   +−     ∫ . Chọn B HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số [ ] 3 21 x f x xe + = A. 5 3 42 1 1 2 d ln 4 t t t t t tC t − − − −  −+ − = − − +   ∫ . B. [ ] 3 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . C. [ ] 3 1 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . D. [ ] 3 3 1 d 3 x x f x x e C + = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 32 1 d 3 d t x t xx = + ⇒ = Do đó, ta có [ ] 33 21 1 11 1 d d .d 33 3 x t t x f x x xe x e t e C e C ++ = = = += + ∫∫ ∫ . Vậy [ ] 3 1 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . Câu 74. Tìm nguyên hàm d 1 x x I e = + ∫ . A. ln 1 x Ix e C =− −+ . B. ln 1 x Ix e C =+ ++ . C. ln 1 x I x eC =−− + + . D. ln 1 x Ix e C =− ++ . Hướng dẫn giải Chọn D [ ] dd 1 1 x x xx x ex I e e e = = + + ∫∫ . Đặt xx t e dt e dx = ⇒= [ ] d 11 ln ln 1 ln ln 1 ln 1 [1 ] 1 1 x xx x xx e x dt I t t C e eC x eC t t tt e e   = = = − = − ++ = − ++ = − ++   ++ +   ∫ ∫∫ Câu 75. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 1 2e 3 x f x = + thỏa mãn [ ] 0 10 F = . Tìm [ ] F x . A. [ ] [ ] [ ] 1 ln 5 ln 2e 3 10 33 x F x x = − + ++ . B. [ ] [ ] [ ] 1 10 ln 2e 3 3 x F x x = +− + . //toanmath.com/ C. [ ] 13 ln e 10 ln 5 ln 2 3 2 x F x x    = − + ++ −       . D. [ ] 1 3 ln 5 ln 2 ln e 10 3 2 3 x F x x   −  = − + +−       . Hướng dẫn giải Chọn A [ ] [ ] [ ] 1e dd d 2e 3 2e 3 e x x xx F x f x x x x = = = + + ∫∫ ∫ . Đặt e d ed xx t tx = ⇒= . Suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1e 1 d ln ln ln 2e 3 2 3 3 2 3 3 2e 3 3 x x x t F x t C C x C t t t  = = += += − + +  ++ +  ∫ . Vì [ ] 0 10 F = nên [ ] 1 ln 5 10 0 ln 5 10 33 CC = − +⇔ = + . Vậy [ ] [ ] [ ] 1 ln 5 ln 2e 3 10 33 x F x x = − + ++ . Câu 76. Với phương pháp đổi biến số [ ] xt → , nguyên hàm ln 2x dx x ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 2 tC + . C. 2 2tC + . D. 2 4tC + . Hướng dẫn giải Đặt 11 ln 2 2. 2 t x dt dx dt dx xx = ⇒= ⇒= . 2 ln 2 1 ... 2 x dx tdt t C x ⇒===+ ∫∫ . Chọn A Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số [ ] sin cos 2 .2 cos sin xx y xx = − ? A. sin cos 2 xx yC + = + . B. sin cos 2 .2 ln 2 xx y = . C. sin cos ln 2.2 xx y + = . D. sin cos 2 ln 2 xx yC + = −+ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: [ ] sin cos 2 .2 cos sin d xx I x xx = − ∫ [ ] sin cos 2 cos sin d xx x xx + = − ∫ . Đặt: sin cos t x x = + [ ] d cos sin d t x xx ⇒= − . 2 2d ln 2 t t It C ⇒= = + ∫ sin cos 2 ln 2 xx C + = + sin cos 2 .2 ln 2 xx C = + . Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: sin cos 2 .2 ln 2 xx y = . Câu 78. Cho hàm số ln 2 [] 2 x fx x = . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số [] fx ? A. [] 2 x Fx C = + . B. [ ] [ ] 22 1 x Fx C = −+ . C. [ ] [ ] 22 1 x Fx C = + + . D. 1 [] 2 x Fx C + = + . Hướng dẫn giải //toanmath.com/ Chọn A Cách 1: Đặt 1 2 t x dt dx x = ⇒= . 2 ln 2 [ ] [ ] 2 2.ln 2 2.2 2.2 x t t x F x f x dx dx dt C C x = = = = += + ∫∫ ∫ nên A sai. Ngoài ra: + D đúng vì [ ] 2.2 x Fx C = + . + B đúng vì [ ] 2.2 2 2.2 x x Fx C C ′ = −+ = + . + C đúng vì [ ] 2.2 2 2.2 x x Fx C C ′ = ++ = + . Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi. Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. Câu 79. Nguyên hàm của [ ] 1 ln .ln x f x xx + = là A. 1 ln d ln ln .ln x x xC xx + = + ∫ . B. 2 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . C. 1 ln d ln ln .ln x x x xC xx + = ++ ∫ . D. 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] 1 ln dd .ln x I f x x x xx + = = ∫∫ . Đặt ln x x t = [ ] ln 1 d d x xt ⇒ += . Khi đó ta có 1 ln d .ln x Ix xx + = ∫ 1 dt t = ∫ ln tC = + ln .ln x xC = + Câu 80. [ ] [ ] 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng [ ] 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3. C. 3; 2 . D. 6; 1. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm [ ] [ ] [ ] 21 1 cos 2 x x e x dx + ++ ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 5 4 73 1 5 4 73 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 xx x x xx x x e e x dx x e x dx x e dx x dx − + + − + −+ −   + ⋅+ = + + = + +     ∫ ∫ ∫∫ . Để tìm [ ] [ ] 2 54 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ −   + ⋅+     ∫ ta đặt [ ] [ ] 2 1 1 1 x I x e dx + = + ∫ và 2 cos 2 I x dx = ∫ và tìm 1 2 , I I . *Tìm [ ] [ ] 2 1 1 1 x I x e dx + = + ∫ . Đặt [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 ; 21 1 21 t x dt x x dx x dx ′ = + = + + = + . [ ] [ ] [ ] 22 1 1 1 11 11 1 1 22 2 x x tt I x e dx e dt e C e C + + = + = = += + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. //toanmath.com/ *Tìm 2 cos 2 I x dx = ∫ . 22 1 cos 2 sin 2 2 I x dx x C = = + ∫ . [ ] [ ] [ ] [ ] 22 2 11 5 4 73 12 1 2 1 1 11 1 cos 2 sin 2 sin 2 . 2 2 22 xx xx x x e e x dx I I e C xC e xC ++ −+ − + ⋅ + =+= +++= ++ ∫ Suy ra để [ ] [ ] 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng [ ] 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ thì 3 , 1. ab =∈ =∈   Chọn A Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị , ab ở các đáp án vào [ ] 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ và lấy đạo hàm của chúng. Sai lầm thường gặp B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp , b a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm 2 cos 2 I x dx = ∫ . 2 2 cos 2 sin 2 I x dx x C = = + ∫ . [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 11 5 4 73 12 1 2 11 1 cos 2 sin 2 sin 2 . 22 xx xx x x e e x dx I I e C xC e xC ++ −+ − + ⋅ + = += ++ + = + + ∫ Suy ra để [ ] [ ] 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng [ ] 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ thì 3, 2. ab =∈ =∈  D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm [ ] [ ] 2 1 1 1 x I x e dx + = + ∫ . Đặt [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1; 1 1 1 t x dt x x dx x dx ′ =+ =+ + =+ . [ ] [ ] [ ] 22 11 1 11 1 x x tt I x e dx e dt e C e C + + = + = = += + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng 2 2 1 sin 2 2 I xC = + nên ta được: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 11 5 4 73 12 1 2 11 1 cos 2 sin 2 sin 2 . 22 xx xx x x e e x dx I I e C xC e xC ++ −+ − + ⋅ + =+=+++=++ ∫ Suy ra để [ ] [ ] 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng [ ] 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ thì 6 , 1. ab =∈ =∈   Câu 81. Tìm [ ] [ ] 32 1 1 . 11 x x ex x I dx x ex −+ − = − −+ ∫ ? A. [ ] ln . 1 1 x Ix e x C = + −+ + . B. [ ] ln . 1 1 x Ix e x C = − −+ + . C. [ ] ln . 1 1 x I ex C = −+ + . D. [ ] ln . 1 1 x I ex C = −− + . Hướng dẫn giải //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 . 11 2 1 3 2 1 21 1 . 11 1 . 11 1 . 11 xx xx x x x x ex e x ex x e x I dx dx dx dx x ex x ex x ex − −+ + − −+ − − = = = + − −+ − −+ − −+ ∫ ∫ ∫∫ Đặt: [ ] 21 . 11 1 21 21 x x xx ex e t e x dt e x dx dx x x −  = − + ⇒ = + − =  − −  Vậy [ ] [ ] [ ] 21 1 ln ln . 1 1 1 11 x x x ex I dx dx x dt x t C x e x C t x e x − ⇒ = + = + = + + = + −+ + − −+ ∫∫ ∫ Chọn A Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] [ ] 2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x xx f x ex e + ++ =  +   ? A. [ ] [ ] 2 2 ln 1 1008ln ln 1 1 xx  + + + +  . B. [ ] [ ] 22 ln 1 2016ln ln 1 1 xx  + + + +  . C. [ ] [ ] 22 1 ln 1 2016ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . D. [ ] [ ] 2 2 1 ln 1 1008ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . Hướng dẫn giải Đặt [ ] [ ] 2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x xx I dx ex e + ++ =  +   ∫ +Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 22 22 1 2 ln 1 2017 ln 1 2017 ln 1 2017 1 ln 1 lne 1 ln 1 1 ln . x x x x x x xx x I dx dx dx x x x x ex e +   ++ + + ++   = = =      + ++ + ++ +      ∫∫ ∫ + Đặt: [ ] 2 2 2 ln 1 1 1 x t x dt dx x = + + ⇒ = + [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2016 1 2016 1 1 1008ln C 22 2 11 1 ln 1 1008ln ln 1 1 ln 1 1008ln ln 1 1 22 2 t I dt dt t t tt I x x C x x C +  ⇒= = + = + +     ⇔ = + + + + + + = + + + + +   ∫ ∫ Chọn D Câu 83. Tìm [ ] [ ] 22 2 2 2 1 2ln . ln ln x xx x G dx x x x ++ + = + ∫ ? A. 11 ln GC x x x − =−+ + . B. 11 ln GC xx x =−+ + . C. 11 ln GC xx x =−+ + . D. 11 ln GC x x x =++ + . Hướng dẫn giải Ta có: //toanmath.com/ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 22 22 2 22 22 2 22 2 2 2 ln ln 2 1 2ln . ln ln 1 ln ln ln 11 1 1 1 1 ln ln ln x x x x xx x x x x x x x x G dx dx dx xx x xx x x x x xx x G dx dx J J dx x x x x x x x x x x x x  + + ++ ++ + + + +  = = = ++ +     + +− + ⇔ = + = −+ = + =         ++ +     ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Xét nguyên hàm: [ ] 2 1 ln x J dx x x x + = + ∫ + Đặt: 11 ln 1 x t x x dt x x + =+ ⇒ =+= 2 11 1 ln J dt C C t t xx −− ⇒ = = + = + + ∫ Do đó: 1 11 ln GJ C x x x x −− = += − + + Chọn A Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của [ ] [ ] 1 1 ln .ln . ln n nn x hx x xx x − − = + ? A. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + . B. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn + + + . C. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + + . D. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − − + − . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 22 11 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 .. ln ln .ln . ln .ln . ln 1 n n nn n nn n xx x L dx dx dx x x x x x xx x x xx x x x − −− −− − = = =  + + +   ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 ln 1 ln xx t dt dx xx − = ⇒= [ ] [ ] 1 1 1 n n nn dt t dt L tt t t − ⇒= = + + ∫ ∫ + Đặt 1 1. nn u t du n t dt − = + ⇒ = [ ] 1 1 11 1 1 1 . ln 1 ln .ln 11 ln 1 1 1 ln .ln .ln .ln ln 1 ln 1 n nn n n n nn n du u L du u u C C n uu n u u n n u x tx x L C C C x n t n n xx x −  ⇒ = = − =  − − + = +   −−  ⇔ = += += + ++ + ∫∫ Chọn A //toanmath.com/ PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ] ; ab và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ; ab . Khi đó: d d. u v uv v u = − ∫∫ [ ] * Để tính nguyên hàm [ ] d f x x ∫ bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn , uv sao cho [ ] d d f x x uv = [chú ý [ ] d 'd v vx x = ]. Sau đó tính d vv = ∫ và d '.d uu x = . Bước 2. Thay vào công thức [ ] * và tính d v u ∫ . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn d uv ∫ . Ta thường gặp các dạng sau ● Dạng 1. [ ] sin d cos x I P x x x   =     ∫ , trong đó [ ] P x là đa thức. u Với dạng này, ta đặt [ ] sin dd cos u P x x vx x =      =       . ● Dạng 2. [ ] d ax b I P xe x + = ∫ , trong đó [ ] P x là đa thức. Với dạng này, ta đặt [ ] dd ax b u P x ve x + =   =   . ● Dạng 3. [ ] [ ] ln d I P x mx n x = + ∫ , trong đó [ ] P x là đa thức. Với dạng này, ta đặt [ ] [ ] ln dd u mx n v P x x = +    =   . ● Dạng 4. sin d cos x x I ex x   =     ∫ . Với dạng này, ta đặt sin cos dd x x u x v ex    =        =  . BÀI TẬP DẠNG 1. Câu 1. Tìm sin 2 x xdx ∫ ta thu được kết quả nào sau đây? A. sin cos x x xC + + B. 11 sin 2 cos 2 42 x x xC −+ C. sin cos xx x + D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Câu 2. Nguyên hàm của hàm số [ ] sin f x x x = là: A. [ ] cos sin F x x x x C = − −+ . B. [ ] cos sin F x x x x C = −+ . //toanmath.com/ C. [ ] cos sin F x x x x C = − ++ . D. [ ] cos sin F x x x x C = ++ . Câu 3. Biết cos 2 d sin 2 cos 2 x x x ax xb xC = + + ∫ với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 8 ab = . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 4 ab = − . Câu 4. Cho biết [ ] 3 11 2 3 F x x x x = +− là một nguyên hàm của [ ] [ ] 2 2 2 xa f x x + = . Tìm nguyên hàm của [ ] cos g x x ax = . A. sin cos x x xC −+ . B. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC −+ . C. sin cos x x xC + + . D. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC ++ . Câu 5. Nguyên hàm của 2 sin I x xdx = ∫ là: A. [ ] 2 1 2 sin 2 cos 2 8 x x x x C − −+ . B. [ ] 2 11 cos 2 sin 2 84 x x x x C ++ + . C. 2 11 cos 2 sin 2 42 x xx x C  −− +   . D. Đáp án A và C đúng. Câu 6. Tìm nguyên hàm [ ] 1 sin 2 d I x x x = − ∫ A. [ ] 1 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . B. [ ] 2 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . C. [ ] 1 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . D. [ ] 2 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . Câu 7. Tìm nguyên hàm sin d xx ∫ A. 1 sin d cos 2 xx x C x = + ∫ . B. sin d cos xx x C = −+ ∫ . C. sin d cos xx x C = + ∫ . D. sin d 2 cos 2sin xx x x x C = − ++ ∫ . Câu 8. Nguyên hàm của 2 sin cos I x x xdx = ∫ là: A. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . B. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . C. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . D. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . Câu 9. Một nguyên hàm của [ ] 2 cos x f x x = là : A. tan ln cos x xx − B. [ ] tan ln cos x xx + C. tan ln cos x xx + D. tan ln sin xx x − Câu 10. Một nguyên hàm của [ ] 2 sin x f x x = là : A. cot ln sinx xx − B. [ ] cot ln sin xx x −+ C. tan ln cos x xx −+ D. tan ln sin xx x − //toanmath.com/ Câu 11. Cho [ ] 2 cos x f x x = trên ; 22 ππ  −   và [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] xf x ′ thỏa mãn [ ] 00 F = . Biết ; 22 a ππ  ∈−   thỏa mãn tan 3 a = . Tính [ ] 2 10 3 Fa a a −+ . A. 1 ln10 2 − . B. 1 ln10 4 − . C. 1 ln10 2 . D. ln10. DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của [ ] 1 x e x dx + ∫ là: A. x x I e xe C =++ . B. 1 2 xx I e xe C =++ . C. 1 2 x x I e xe C = ++ . D. 2 x x I e xe C = ++ . Câu 13. Biết [ ] 2 2 2 d , . x x x xe x axe be C a b = ++ ∈ ∫  Tính tích ab . A. 1 4 ab = − . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 8 ab = . Câu 14. Cho biết 2 e d x xx ∫ [ ] 2 1 e 4 x ax b C = ++ , trong đó , ab ∈  và C là hằng số bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. 20 ab += . B. ba > . C. ab . D. 20 ab + =. Câu 15. Biết [ ] [ ] x F x ax b e = + là nguyên hàm của hàm số [ ] 23 x y xe = + .Khi đó ab + là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 16. Biết [ ] [ ] 22 1 3. d 2 x x x e x e x n C m − − + = − ++ ∫ , với , mn ∈  . Tính 22 Sm n = + . A. 10 S = . B. 5 S = . C. 65 S = . D. 41 S = . Câu 17. Tìm nguyên hàm [ ] 21 d x I x ex − = − ∫ . A. [ ] 2 1 x I x e C − = −+ + . B. [ ] 21 x I x e C − = −− + . C. [ ] 23 x I x e C − = −+ + . D. [ ] 23 x I x e C − = −− + . Câu 18. Cho [] Fx là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 5 1e x f x x = + và [ ] 03 F = . Tính [ ] 1 F . A. [ ] 1 11e 3 F = − . B. [ ] 1 e 3 F = + . C. [ ] 1 e7 F = + . D. [ ] 1 e2 F = + . Câu 19. Cho hàm số [ ] [ ] 23 x f x x e = − . Nếu [ ] [ ] x F x mx n e = + [ ] , mn ∈  là một nguyên hàm của [ ] f x thì hiệu mn − bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. Câu 20. Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 3 e x f x = và [ ] 02 F = . Hãy tính [ ] 1 F − . A. 15 6 e − . B. 10 4 e − . C. 15 4 e − . D. 10 e . DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ln xdx ∫ là: A. ln x x xC ++ B. Đáp án khác C. ln x xC + D. ln x x xC −+ Câu 22. Nguyên hàm của ln I x xdx = ∫ bằng với: //toanmath.com/ A. 2 ln 2 x x xdx C −+ ∫ . B. 2 1 ln 22 x x xdx C − + ∫ . C. 2 1 ln 2 x x xdx C − + ∫ . D. 2 ln x x xdx C −+ ∫ . Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] ln 2 f x x x = + . A. [ ] [ ] 22 4 d ln 2 24 x x x f x x x C + = + − + ∫ . B. [ ] [ ] 22 44 d ln 2 24 x xx f x x x C −− = + − + ∫ . C. [ ] [ ] 22 4 d ln 2 22 x x x f x x x C + = + − + ∫ . D. [ ] [ ] 22 44 d ln 2 2 2 x x x f x x x C −+ = + − + ∫ . Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của [ ] [ ] 2 ln 1 x gx x = + ? A. ln 2 ln 2 ln 1999 11 xx x xx −− + + ++ . B. ln ln 1998 1 1 xx x x − −+ + + . C. ln ln 2016 11 x x x x −+ + + . D. ln ln 2017 11 xx xx + + ++ . Câu 25. Họ nguyên hàm của [ ] 2 ln cos sin x I dx x = ∫ là: A. [ ] cot .ln cos x x xC ++ . B. [ ] cot .ln cos x x xC − −+ . C. [ ] cot .ln cos x x xC −+ . D. [ ] cot .ln cos x x xC − ++ . Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] ln f x x x = . A. [ ] [ ] 3 2 1 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . B. [ ] [ ] 3 2 2 d 3ln 2 3 f x x x x C = −+ ∫ . C. [ ] [ ] 3 2 2 d 3ln 1 9 f x x x x C = − + ∫ . D. [ ] [ ] 3 2 2 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . Câu 27. Giả sử [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] [ ] 2 ln 3 x f x x + = sao cho [ ] [ ] 2 10 FF −+ = . Giá trị của [ ] [ ] 12 FF −+ bằng A. 10 5 ln 2 ln 5 36 − . B. 0 . C. 7 ln 2 3 . D. 23 ln 2 ln 5 36 + . Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 2 4 ln 4 x f x x x  − =  +  ? A. 2 42 2 4 ln 2 4 x xx x  − −  +  . B. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− −     +     . C. 2 42 2 4 ln 2 4 x x x x  − +  +  . D. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− +     +     . Câu 29. Tìm [ ] 2 2 sin cos x dx H xx x = + ∫ ? //toanmath.com/ A. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x = + + + . B. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x = −+ + . C. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x − = + + + . D. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x − = −+ + . Câu 30. [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Câu 31. Cho 2 1 [] 2 Fx x = là một nguyên hàm của hàm số [] fx x . Tính e 1 [ ]ln d f x xx ′ ∫ bằng: A. 2 2 e 3 2e I − = . B. 2 2 2e e I − = . C. 2 2 e2 e I − = . D. 2 2 3e 2e I − = . Câu 32. Cho [ ] [ ] ln a F x x b x = + là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 ln x f x x + = , trong đó a , b ∈  . Tính S ab = + . A. 2 S = − . B. 1 S = . C. 2 S = . D. 0 S = . Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số [ ] [ ] 3 e 1 x a f x bx x = + + với mọi x khác 1 − . Biết [ ] 0 22 f ′ = − và [ ] 1 0 d 5 f x x = ∫ . Tính ab + ? A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10. Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 1 e ln x f x ax x   = +     thỏa mãn 1 0 F a   =     và [ ] 2018 2018 e F = . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 ;1 2018 a  ∈   . B. 1 0; 2018 a  ∈    . C. [ ] 1;2018 a ∈ . D. [ ] 2018; a ∈ +∞ . DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − ∫∫ . B. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − + ∫∫ . C. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = + ∫∫ . D. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − − ∫∫ Câu 36. Tìm .sinx x J e dx = ∫ ? A. [ ] cos sin 2 x e J x xC = −+ . B. [ ] sin cos 2 x e J x xC = ++ . C. [ ] sin cos 2 x e J x xC = −+ . D. [ ] sin cos 1 2 x e J x x C = + ++ . //toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1. Câu 1. Tìm sin 2 x xdx ∫ ta thu được kết quả nào sau đây? A. sin cos x x xC + + B. 11 sin 2 cos 2 42 x x xC −+ C. sin cos xx x + D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Hướng dẫn giải Ta có: sin 2 I x xdx = ∫ Đặt: 1 sin 2 cos 2 2 du dx ux dv xdx vx =  =   ⇒  = = −    Khi đó: 11 11 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 22 24 I uv vdu x x xdx x x x C = − = −+ = −+ + ∫∫ Chọn B Câu 2. Nguyên hàm của hàm số [ ] sin f x x x = là: A. [ ] cos sin F x x x x C = − −+ . B. [ ] cos sin F x x x x C = −+ . C. [ ] cos sin F x x x x C = − ++ . D. [ ] cos sin F x x x x C = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: [ ] d sin d I f x x x xx = = ∫∫ . Đặt d sin d ux v xx =   =  Ta có dd cos ux vx =   = −  . [ ] d sin d cos cos d cos sin I f x x x x xxx x xxx x C = = = −+ = −+ + ∫∫ ∫ . Câu 3. Biết cos 2 d sin 2 cos 2 x x x ax xb xC = + + ∫ với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 8 ab = . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 4 ab = − . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt dd 1 d cos 2 d sin 2 2 ux ux v x x vx =  =   ⇒  = =    Khi đó 11 cos 2 d sin 2 sin 2 d 22 x x x x x x x = − ∫∫ 11 sin 2 cos 2 24 x x xC = ++ 1 2 a ⇒=, 1 4 b = . Vậy 1 8 ab = . Câu 4. Cho biết [ ] 3 11 2 3 F x x x x = +− là một nguyên hàm của [ ] [ ] 2 2 2 xa f x x + = . Tìm nguyên hàm của [ ] cos g x x ax = . //toanmath.com/ A. sin cos x x xC −+ . B. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC −+ . C. sin cos x x xC + + . D. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] 2 2 2 22 1 2 xa Fx x xx + ′ = ++ = . Suy ra 1 a = . Khi đó [ ] d cos d dsin .sin sin d .sin cos g x x x x x x x x x x x x x x C = = = − = + + ∫∫ ∫ ∫ . Câu 5. Nguyên hàm của 2 sin I x xdx = ∫ là: A. [ ] 2 1 2 sin 2 cos 2 8 x x x x C − −+ . B. [ ] 2 11 cos 2 sin 2 84 x x x x C ++ + . C. 2 11 cos 2 sin 2 42 x xx x C  −− +   . D. Đáp án A và C đúng. Hướng dẫn giải Ta biến đổi: 1 22 1 1 cos 2 1 1 1 1 sin cos 2 cos 2 2 2 2 42 I x I x xdx x dx xdx x xdx x x xdx C − == =− =−+   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   1 cos 2 I x xdx = ∫ . Đặt 1 cos 2 sin 2 2 du dx ux dv x vx =  =   ⇒  = =    . 1 11 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 22 2 4 I x xdx x x xdx x x x C ⇒= = − = + + ∫∫ . [ ] [ ] 22 2 11 1 cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 42 8 11 cos 2 sin 2 84 I x x xx C x xx x C x x x x C  ⇒= − − + = − − +   = − ++ + . Chọn C Câu 6. Tìm nguyên hàm [ ] 1 sin 2 d I x x x = − ∫ A. [ ] 1 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . B. [ ] 2 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . C. [ ] 1 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . D. [ ] 2 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt dd 1 1 d sin 2 d cos 2 2 ux ux v x x vx =  = −   ⇒  = = −    Khi đó [ ] [ ] [ ] 11 11 1 sin 2 d 1 cos 2 cos 2 d 1 cos 2 sin 2 22 24 I x x x x x x x x x x C =− = − − + = − − + + ∫∫ Câu 7. Tìm nguyên hàm sin d xx ∫ //toanmath.com/ A. 1 sin d cos 2 xx x C x = + ∫ . B. sin d cos xx x C = −+ ∫ . C. sin d cos xx x C = + ∫ . D. sin d 2 cos 2sin xx x x x C = − ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt tx = , ta có sin d 2 sin d x x t tt = ∫∫ Đặt 2 d sin d ut v tt =   =  ta có d 2d cos ut vt =   = −  2 sin d 2 cos 2cos d 2 cos 2sin 2 cos 2sin t tt t t tt t t t C x x x C = − + = − + += − + + ∫∫ Câu 8. Nguyên hàm của 2 sin cos I x x xdx = ∫ là: A. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . B. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . C. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . D. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . Hướng dẫn giải Ta đặt: 23 sin cos cos u x du dx du x x u xdx = = ⇒  = = −  . 1 2 33 1 sin cos cos cos I I x x xdx x x xdx C ⇒= = − + + ∫ ∫   . Xét [ ] 32 1 cos cos 1 sin I xdx x x dx = = − ∫∫ . Đặt sin cos t x dt xdx = ⇒= . [ ] 23 12 1 1 3 I t dt t t C ⇒= − =− + ∫ . 3 33 1 1 cos cos 3 I xx I xx t t C ⇒= −+= −+− + . Chọn A Câu 9. Một nguyên hàm của [ ] 2 cos x f x x = là : A. tan ln cos x xx − B. [ ] tan ln cos x xx + C. tan ln cos x xx + D. tan ln sin xx x − Hướng dẫn giải Ta có: 2 cos x I dx x = ∫ Đặt: 2 1 tan cos ux du dx vx dv dx x =  =   ⇒  = =    Khi đó: tan tan tan ln cos I uv vdu x x xdx x x x C = −= − = + + ∫∫ Chọn C Câu 10. Một nguyên hàm của [ ] 2 sin x f x x = là : A. cot ln sinx xx − B. [ ] cot ln sin xx x −+ //toanmath.com/ C. tan ln cos x xx −+ D. tan ln sin xx x − Hướng dẫn giải Ta có: 2 sin x I dx x = ∫ Đặt: 2 1 cot sin ux du dx vx dv dx x =  =   ⇒  = − =    Khi đó: cot cot cot ln sin I uv vdu x x xdx x x x C =− = −+ = −+ + ∫∫ Chọn B Câu 11. Cho [ ] 2 cos x f x x = trên ; 22 ππ  −   và [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] xf x ′ thỏa mãn [ ] 00 F = . Biết ; 22 a ππ  ∈−   thỏa mãn tan 3 a = . Tính [ ] 2 10 3 Fa a a −+ . A. 1 ln10 2 − . B. 1 ln10 4 − . C. 1 ln10 2 . D. ln10. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: [ ] [ ] d F x xf x x ′ = ∫ [ ] d xf x = ∫ [ ] [ ] d xf x f x x = − ∫ Ta lại có: [ ] 2 dd cos x f x x x x = ∫∫ [ ] = d tan xx ∫ tan tan d x x xx = − ∫ sin tan d cos x xx x x = − ∫ [ ] 1 tan d cos cos xx x x = + ∫ tan ln cos x x xC = ++ [ ] [ ] tan ln cos F x xf x x x x C ⇒= − − + Lại có: [ ] 00 F = 0 C ⇒= , do đó: [ ] [ ] tan ln cos F x xf x x x x = − − . [ ] [ ] tan ln cos F a af a a a a ⇒ = − − Khi đó [ ] 2 cos a f a a = [ ] 2 1 tan aa = + 10a = và 2 2 1 1 tan cos a a = + 10 = 2 1 cos 10 a ⇔ = 1 cos 10 a ⇔= . Vậy [ ] 2 10 3 Fa a a −+ 22 1 10 3 ln 10 3 10 aa a a = − − − + 1 ln10 2 = . DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của [ ] 1 x e x dx + ∫ là: A. x x I e xe C =++ . B. 1 2 xx I e xe C =++ . C. 1 2 x x I e xe C = ++ . D. 2 x x I e xe C = ++ . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] 1 1 1 x xx x x I I e x dx e dx e xdx e C xe dx = + = + = ++ ∫ ∫∫ ∫   . Xét 1 x I e xdx = ∫ . Đặt x x ux dux dv e dx v e = = ⇒  = =  . //toanmath.com/ 1 12 1 2 xx x I xe xe dx I xe C ⇒= − ⇒= + ∫ . 1 2 xx I e xe C ⇒= + + . Chọn B Câu 13. Biết [ ] 2 2 2 d , . x x x xe x axe be C a b = ++ ∈ ∫  Tính tích ab . A. 1 4 ab = − . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 8 ab = . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2 2 dd 1 d d 2 x x ux ux v e ve x =  =   ⇒  = =    Suy ra: 2 2 2 11 dd 22 x x x xe x xe e x = − ∫∫ 22 11 24 xx xe e C = −+ Vậy: 11 1 ; . 24 8 a b ab = = −⇒ = − Câu 14. Cho biết 2 e d x xx ∫ [ ] 2 1 e 4 x ax b C = ++ , trong đó , ab ∈  và C là hằng số bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. 20 ab += . B. ba > . C. ab . D. 20 ab + =. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt dd ux u x =⇒= , 2 2 e d e d 2 x x v x v = ⇒= . Ta có 2 e d x xx ∫ 22 ee d 22 x x x x = − ∫ 22 ee 24 xx x C = −+ [ ] 2 e 21 4 x x C = − + . Suy ra 2 a = , 1 b = − . Câu 15. Biết [ ] [ ] x F x ax b e = + là nguyên hàm của hàm số [ ] 23 x y xe = + .Khi đó ab + là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2x+3 d ax+b xx ex e = ∫ , nghĩa là: [ ] [ ] ax+b ' 2x+3 xx ee   =   [ ] [ ] . ax = 2x+3 x x x a e e b e ⇔+ + [ ] [ ] ax = 2x+3 xx e ab e ⇔ ++ Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1 Vậy 3 ab + =. Chọn B Câu 16. Biết [ ] [ ] 22 1 3. d 2 x x x e x e x n C m − − + = − ++ ∫ , với , mn ∈  . Tính 22 Sm n = + . A. 10 S = . B. 5 S = . C. 65 S = . D. 41 S = . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2 2 dd 3 1 dd 2 x x ux ux ve ve x − − =  = +   ⇒  = − =    //toanmath.com/ Khi đó [ ] [ ] 22 2 11 3. d 3 d 22 xx x x e x e x e x −− − + = − ++ ∫∫ [ ] 22 11 .3 24 xx e x e C −− = − +− + [ ] [ ] 22 11 . 26 1 27 44 xx e x C ex C −− =− ++ + =− + + 4; 7 mn ⇒= = . 22 65. Sm n = += Câu 17. Tìm nguyên hàm [ ] 21 d x I x ex − = − ∫ . A. [ ] 2 1 x I x e C − = −+ + . B. [ ] 21 x I x e C − = −− + . C. [ ] 23 x I x e C − = −+ + . D. [ ] 23 x I x e C − = −− + . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1 d 2d d x x ux u x dv e x v e − − =−=  ⇒  = = −  . Ta có [ ] [ ] [ ] 21 2. d 21 2 2 1 x x x x x I x e e x x e e C x e C − − − − − = −− + = −− − + = −+ + ∫ . Câu 18. Cho [] Fx là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 5 1e x f x x = + và [ ] 03 F = . Tính [ ] 1 F . A. [ ] 1 11e 3 F = − . B. [ ] 1 e 3 F = + . C. [ ] 1 e7 F = + . D. [ ] 1 e2 F = + . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] [ ] 5 1 ed x F x x x = + ∫ . Đặt 51 d ed x u x vx = +   =  d 5d e x ux v =  ⇒  =  . [ ] [ ] 5 1 e 5e d xx F x x x = +− ∫ [ ] 5 1 e 5e x x xC = + −+ [ ] 5 4e x xC = −+ . Mặt khác [ ] 03 F = 4 3 C ⇔− + = 7 C ⇔= . [ ] [ ] 5 4e 7 x F x x ⇒ = −+ . Vậy [ ] 1 e7 F = + . Câu 19. Cho hàm số [ ] [ ] 23 x f x x e = − . Nếu [ ] [ ] x F x mx n e = + [ ] , mn ∈  là một nguyên hàm của [ ] f x thì hiệu mn − bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn A Tính [ ] 2 3d x x ex − ∫ . Đặt 2 3 d 2d ; d d xx u x u x ve x ve = −⇒ = = ⇒ = . Suy ra: [ ] [ ] 23 d 23 2 d x xx x ex x e ex C − = − − + ∫∫ [ ] 23 2 x x x e eC = − −+ [ ] 25 x x eC = −+ Suy ra: 2 m = ; 5 n = − Vậy 7 mn −=. Câu 20. 1 7 TCho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 3 e x f x = và [ ] 02 F = . Hãy tính [ ] 1 F − . A. 15 6 e − . B. 10 4 e − . C. 15 4 e − . D. 10 e . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có [ ] 3 d e d x I f x x x = = ∫∫ . //toanmath.com/ Đặt 3 3 x t x t = ⇒= 2 d 3d x tt ⇒= khi đó 3 2 e d 3e d xt I x tt = = ∫∫ . Đặt 2 2d d e ed d t t tt u tu v tv =  =   ⇒  = =    [ ] 2 3e 2 e d t t I t tt ⇒= − ∫ 2 3e 6 e d t t t tt = − ∫ . Tính ed t tt ∫ . Đặt dd ed d e tt t u t u tv v = = ⇒  = =  e de e de e t t t t t t t t t t ⇒ =−=− ∫∫ . Vậy [ ] 2 3e 6 e e t tt It t C ⇒= − − + [ ] [ ] 3 33 3 2 3 3e 6 e e x xx F x x x C ⇒ = − − + . Theo giả thiết ta có [ ] 02 4 FC =⇒= − [ ] [ ] 3 33 3 2 3 3e 6 e e 4 x xx F x x x ⇒ = − − − [ ] 15 14 e F ⇒ − = − . DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ln xdx ∫ là: A. ln x x xC ++ B. Đáp án khác C. ln x xC + D. ln x x xC −+ Hướng dẫn giải Ta có: ln I xdx = ∫ Đặt: ln dx ux du x dv dx vx  = =   ⇒  =   =  Khi đó: ln ln I uv vdu x x dx x x x C = − = − = −+ ∫∫ Chọn D Câu 22. Nguyên hàm của ln I x xdx = ∫ bằng với: A. 2 ln 2 x x xdx C −+ ∫ . B. 2 1 ln 22 x x xdx C − + ∫ . C. 2 1 ln 2 x x xdx C − + ∫ . D. 2 ln x x xdx C −+ ∫ . Hướng dẫn giải Ta đặt: 2 1 ln 2 du dx ux x dv xdx x v  =  =   ⇒  =   =   . 2 1 ln ln 22 x I x xdx x xdx ⇒= = − ∫∫ . Chọn B Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] ln 2 f x x x = + . A. [ ] [ ] 22 4 d ln 2 24 x x x f x x x C + = + − + ∫ . B. [ ] [ ] 22 44 d ln 2 24 x xx f x x x C −− = + − + ∫ . //toanmath.com/ C. [ ] [ ] 22 4 d ln 2 22 x x x f x x x C + = + − + ∫ . D. [ ] [ ] 22 44 d ln 2 2 2 x x x f x x x C −+ = + − + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt [ ] 2 d d ln 2 2 dd 2 x u ux x x v x x v  =  = +   + ⇒  =    =   suy ra [ ] [ ] [ ] 22 1 d ln 2 d ln 2 d 2 22 xx f x x x x x x x x = + = + − + ∫∫ ∫ [ ] [ ] 2 22 14 4 4 ln 2 2 d ln 2 2 2 22 2 x x xx xx x x C x −−   = + − − + = + − +   +   ∫ . Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của [ ] [ ] 2 ln 1 x gx x = + ? A. ln 2 ln 2 ln 1999 11 xx x xx −− + + ++ . B. ln ln 1998 1 1 xx x x − −+ + + . C. ln ln 2016 11 x x x x −+ + + . D. ln ln 2017 11 xx xx + + ++ . Hướng dẫn giải Đặt [ ] 2 1 ln 1 1 1 1 ux du dx x dv dx v x x  =  =   ⇒  = −  = +   +  [ ] [ ] ln 1 ln 1 1 lnx 1 1 11 1 1 1 ln ln ln ln 1 ln 1 11 x x dx S dx dx dx x x x x x x x x x x x x S x x C C x xx −− −  ⇒ = + = + − = + + −  + ++ + + +  −− ⇔= + − + + = + + + ++ ∫ ∫ ∫∫ . Chọn A Câu 25. Họ nguyên hàm của [ ] 2 ln cos sin x I dx x = ∫ là: A. [ ] cot .ln cos x x xC ++ . B. [ ] cot .ln cos x x xC − −+ . C. [ ] cot .ln cos x x xC −+ . D. [ ] cot .ln cos x x xC − ++ . Hướng dẫn giải Ta đặt: [ ] 2 ln cos tan cot sin ux du xdx dx vx dv x =  = −   ⇒  = − =    . [ ] [ ] cot .ln cos cot .ln cos I xx dx xx x C ⇒= −−= −−+ ∫ . Chọn B Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] ln f x x x = . //toanmath.com/ A. [ ] [ ] 3 2 1 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . B. [ ] [ ] 3 2 2 d 3ln 2 3 f x x x x C = −+ ∫ . C. [ ] [ ] 3 2 2 d 3ln 1 9 f x x x x C = − + ∫ . D. [ ] [ ] 3 2 2 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A [ ] d ln .d I f x x x xx = = ∫∫ . Đặt: 1 d d 2d d 2 t x t x tt x x = ⇒= ⇒ = . 22 2 2 ln .d 4 ln .d I tt t tt t ⇒= = ∫ ∫ . Đặt: 2 3 1 dd ln dd 3 ut u t t v tt t v  =  =   ⇒  =   =   . [ ] 3 2 33 3 11 1 1 2 2 ln d 2 ln 3ln 1 33 39 9 I t t t t t t t C t t C     ⇒= − = − + = − +         ∫ [ ] 3 2 2 3ln 1 9 x xC = −+ [ ] 3 2 1 3ln 2 9 xx C = −+ . Câu 27. Giả sử [ ] F x là một nguyên hàm của [ ] [ ] 2 ln 3 x f x x + = sao cho [ ] [ ] 2 10 FF −+ = . Giá trị của [ ] [ ] 12 FF −+ bằng A. 10 5 ln 2 ln 5 36 − . B. 0 . C. 7 ln 2 3 . D. 23 ln 2 ln 5 36 + . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có hàm số [ ] f x liên tục trên các khoảng [ ] 3;0 − và [ ] 0; +∞ . Tính [ ] 2 ln 3 d x x x + ∫ . Đặt [ ] 2 1 ln 3 dd 3 d 11 3 d 33 ux ux x x x v v x xx  = +  =   + ⇒  + =  = −− = −    [Chọn 1 3 C = − ] Suy ra: [ ] [ ] [ ] 2 ln 3 31 d ln 3 d 33 x x F x x x x xx x + + = = − ++ ∫∫ [ ] 31 ln 3 ln 33 x x x C x + = − ++ + . •Xét trên khoảng [ ] 3;0 − , ta có: [ ] 1 1 2 ln 2 3 FC − = + ; [ ] 1 2 1 ln 2 3 FC − = + •Xét trên khoảng [ ] 0; +∞ , ta có: [ ] 22 48 1 ln 4 ln 2 33 F CC = − += − + ; [ ] 2 51 2 ln 5 ln 2 63 FC = − + + Suy ra: [ ] [ ] 2 10 FF −+ = 12 18 ln 2 ln 2 0 33 C C    ⇔ + +− + =       12 7 ln 2 3 C C ⇔+ = . //toanmath.com/ Do đó: [ ] [ ] 12 2 51 1 2 ln 2 ln 5 ln 2 3 63 FF C C    − + = + +− + +       2 5 1 7 10 5 ln 2 ln 5 ln 2 ln 2 ln 2 ln 5 3 6 3 3 3 6 = −+ + = − . Cách 2: [Tận dụng máy tính] •Xét trên khoảng [ ] 3;0 − , ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 2 2 2 ln 3 1 2 d d 0, 231 x F F f x x x A x − − − − + −− − = = ≈ → ∫∫ [lưu vào A ] [ ] 1 •Xét trên khoảng [ ] 0; +∞ , ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 22 2 11 ln 3 2 1 d d 0,738 x F F f x x x B x + −= = ≈ → ∫∫ [lưu vào A ] [ ] 2 •Lấy [ ] 1 cộng [ ] 2 theo vế ta được: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2 1 1 2 0,969 F F F F AB F F AB −+ − − − = + ⇔ −+ = + ≈ . So các phương án ta Chọn A Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số [ ] 2 3 2 4 ln 4 x f x x x  − =  +  ? A. 2 42 2 4 ln 2 4 x xx x  − −  +  . B. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− −     +     . C. 2 42 2 4 ln 2 4 x x x x  − +  +  . D. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− +     +     . Hướng dẫn giải Đặt: 2 4 2 4 4 3 16 4 ln 16 4 16 4 44 x x du u x x x x v dv x dx    − =  =    − + ⇒   −  = − = =    2 42 42 4 2 22 2 4 16 4 16 4 ln ln 4 ln 2 4 4 4 4 4 x xx xx x dx xdx x C xx x      − −− −− ⇒ = − = −+      ++ +      ∫∫ Chọn B Câu 29. Tìm [ ] 2 2 sin cos x dx H xx x = + ∫ ? A. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x = + + + . B. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x = −+ + . C. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x − = + + + . D. [ ] tan cos sin cos x H xC x x x x − = −+ + . Hướng dẫn giải Ta có: [ ] [ ] 2 22 cos . cos sin cos sin cos x xx x H dx dx x xx x xx x = = ++ ∫∫ //toanmath.com/ Đặt [ ] [ ] [ ] 2 22 sin cos cos cos sin cos cos 1 sin cos sin cos sin cos x xx x u du dx x x dx x x xx dv dx v xx x xx x xx x  +  = =    ⇒  +  = = = −   + + +   [ ] 2 11 . tan cos x sin cos cos cos sin cos xx H dx x C x x x x x x x x − ⇒= − + = + + ++ ∫ Chọn C Câu 30. [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3. B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: [ ] 22 2 1 ln 2 1 ln x x x x dx x x dx x x dx ++ = + + ∫ ∫∫ . Để tìm [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ ta đặt 2 1 21 I x x dx = + ∫ và 2 ln I x x dx = ∫ và tìm 1 2 , I I . * 2 1 21 I x x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 1, 1 tx t = + ≥ ta được 22 1, t x xdx tdt =+=. Suy ra: [ ] 3 2 23 2 1 11 22 2 12 1 33 I x x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. * 2 ln I x x dx = ∫ . Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. Đặt 2 1 ln 1 2 du dx ux x dv xdx vx  =  =   ⇒  =   =   , ta được: 2 2 2 2 22 2 ln 1 1 1 11 11 ln ln ln 2 2 22 24 I x x dx udv uv vdu xx x dx xx xdx xx x C x = = = − = − ⋅ = − = −+ ∫∫ ∫ ∫∫ . [ ] [ ] [ ] 3 2 2 22 12 1 2 3 2 22 2 11 2 1 ln 1 ln 3 24 2 11 1 ln 3 24 x x x x dx I I x C x x x C x x x xC ++ = + = + + + − + = + + − + ∫ . Suy ra để [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + thì 2 , 3. ab =∈ =∈   Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. //toanmath.com/ Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 24 ab x x x xC + + − + . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm của [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 24 ab x x x xC + + − + . Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * 2 1 21 I x x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 1, 1 tx t = + ≥ ta được 22 1, 2 t x tdt xdx =+= . Suy ra: [ ] 3 2 23 2 1 11 11 21 1 33 I x x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng 22 22 11 ln 24 I x x xC = −+ theo phân tích ở trên. [ ] [ ] [ ] 3 2 2 22 12 1 2 3 2 22 1 11 2 1 ln 1 ln 3 24 1 11 1 ln 3 24 x x x x dx I I x C x x x C x x x xC ++ = + = + + + − + = + + − + ∫ . Suy ra để [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + thì 1, 3 ab = = . Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * 2 1 21 I x x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 1, 1 tx t = + ≥ ta được 22 1, 2 t x tdt xdx =+= . Suy ra: [ ] 3 2 23 2 1 11 11 21 1 33 I x x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng 22 22 11 ln 24 I x x xC = −+ theo phân tích ở trên. [ ] [ ] [ ] 3 2 2 22 12 1 2 3 2 22 1 11 2 1 ln 1 ln 3 24 1 11 1 ln 3 24 x x x x dx I I x C x x x C x x x xC ++ = + = + + + − + = + + − + ∫ . Suy ra để [ ] 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng [ ] 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + thì 1 1, 3 ab =∈ =∉  . Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . //toanmath.com/ Câu 31. Cho 2 1 [] 2 Fx x = là một nguyên hàm của hàm số [] fx x . Tính e 1 [ ]ln d f x xx ′ ∫ bằng: A. 2 2 e 3 2e I − = . B. 2 2 2e e I − = . C. 2 2 e2 e I − = . D. 2 2 3e 2e I − = . Hướng dẫn giải Chọn A Do 2 1 [] 2 Fx x = là một nguyên hàm của hàm số [] fx x nên 2 [] 1 2 fx xx ′  =   [ ] 2 1 f x x ⇔= − . Tính e 1 [ ]ln d I f x xx ′ = ∫ . Đặt [ ] [ ] 1 ln dd dd x u xu x fx x v f x v  = =   ⇒  ′ =    =  . Khi đó [ ] [ ] [ ] e e 1 1 .ln d fx I f x x x x ′ = − ∫ [ ] ee 22 11 11 .ln 2 x xx = −− 2 2 e 3 2e − = . Câu 32. Cho [ ] [ ] ln a F x x b x = + là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 1 ln x f x x + = , trong đó a , b ∈  . Tính S ab = + . A. 2 S = − . B. 1 S = . C. 2 S = . D. 0 S = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có [ ] 2 1 ln dd x I f x x x x +  = =   ∫∫ . Đặt 2 1 ln 1 dd x u xv x +=    =   1 dd 1 xu x v x  =   ⇒   −=   khi đó [ ] 2 11 1 ln d I xx xx = −+ + ∫ [ ] 11 1 ln xC xx = − + −+ [ ] 1 ln 2 xC x = − + + 1; 2 ab ⇒= − = . Vậy 1 S ab = + = . Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số [ ] [ ] 3 e 1 x a f x bx x = + + với mọi x khác 1 − . Biết [ ] 0 22 f ′ = − và [ ] 1 0 d 5 f x x = ∫ . Tính ab + ? A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có [ ] [ ] 4 3 ee 1 xx a f x b bx x − ′ = ++ + nên [ ] 0 3 22 f ab ′ =− + =− [ ] 1 . [ ] [ ] 11 3 00 d e d 1 x a f x x bx x x  = +  +   ∫∫ [ ] 11 3 00 d ed 1 x x a b x x aI bJ x = +=+ + ∫∫ . Tính [ ] 1 3 0 d 1 x I x = + ∫ [ ] 2 1 13 0 8 21 x = −= + . Tính 1 0 ed x J xx = ∫ . Đặt dd d ed e x x ux u x v xv = = ⇒  = =  . //toanmath.com/ Khi đó [ ] 1 0 11 e ed e e 1 00 x x x x Jx x = − =− = ∫ . Suy ra 3 5 8 ab + = [ ] 2 . Từ [ ] 1 và [ ] 2 ta có 3 22 3 5 8 ab a b − + =−    + =   8 2 a b =  ⇔  =  . Vậy 10 ab + = . Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] [ ] 1 e ln x f x ax x   = +     thỏa mãn 1 0 F a   =     và [ ] 2018 2018 e F = . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 ;1 2018 a  ∈   . B. 1 0; 2018 a  ∈    . C. [ ] 1;2018 a ∈ . D. [ ] 2018; a ∈ +∞ . Hướng dẫn giải Chọn A [ ] [ ] 1e e ln d e ln d d x x x I ax x ax x x xx   = += +     ∫ ∫ ∫ [1]  Tính [ ] e ln d x ax x ∫ : Đặt [ ] 1 ln dd d ed e x x u ax ux x vx v  = =  ⇒  =    =  [ ] [ ] e e ln d e ln d x x x ax x ax x x ⇒=− ∫∫  Thay vào [1], ta được: [ ] [ ] e ln x F x ax C = + . Với [ ] 2018 1 0 2018 e F a F    =        =  [ ] 1 2018 2018 e .ln1 0 e ln .2018 e a C aC   +=   +=   [ ] 0 ln .2018 1 C a =    =    e 2018 a =  .  Vậy 1 ;1 2018 a  ∈   . DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − ∫∫ . B. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − + ∫∫ . C. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = + ∫∫ . D. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − − ∫∫ Hướng dẫn giải Chọn B Đặt e d sin d x u v x x  =  =  d cos x du e x vx  = ⇒  = −  e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x ⇒ = − + ∫∫ . Câu 36. Tìm .sinx x J e dx = ∫ ? A. [ ] cos sin 2 x e J x xC = −+ . B. [ ] sin cos 2 x e J x xC = ++ . C. [ ] sin cos 2 x e J x xC = −+ . D. [ ] sin cos 1 2 x e J x x C = + ++ . Hướng dẫn giải //toanmath.com/ Đặt: 1 1 11 . sin .dx cos x x u e du e dx dv x v x  = = ⇒  = = −  [ ] cos cos cos .cos xx x x J ex exdx ex T T e xdx ⇒= − + = − + = ∫∫ Tính .cos x T e xdx = ∫ : [ ] [ ] sin sin sin cos sin 2 sin cos sin cos 2 x x x x xx x T ex exdx ex J e J e x e x J J e xx J xx C ⇒ = − = − ⇒ = − + − ⇔ = − ⇔ = − + ∫ Chọn C