1. Phương trình $\sin x = a$ [1]
* $\left| a \right| > 1$: phương trình [1] vô nghiệm.
* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là:
$x = \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Và $x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arcsin \alpha $.
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:
$x = \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Và $x = \pi - \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$.
Phương trình $\sin x = \sin {\beta ^o}$ có các nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$
Và $x = {180^o} - {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$.
2. Phương trình $\cos x = a$ [2]
* $\left| a \right| > 1$: phương trình [2] vô nghiệm.
* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\cos \alpha = a$. Khi đó phương trình [2] có nghiệm là:
$x = \pm \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 \le \alpha \le \pi $ và $\cos \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arccos \alpha $.
Khi đó nghiệm của phương trình [2] là:
$x = \pm \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Phương trình $\cos x = \cos {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = \pm {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$
3. Phương trình $\tan x = a$ [3]
Điều kiện của phương trình [3]: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$ và $\tan \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arctan \alpha $.
Lúc đó nghiệm của phương trình [3] là:
$x = \arctan \alpha + k\pi ,k \in Z$
Phương trình $\tan x = \tan {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$
4. Phương trình $\cot x = a$ [4]
Điều kiện của phương trình [4]: $x \ne k\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 < \alpha < \pi $ và $\cot \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \alpha $.
Lúc đó nghiệm của phương trình [4] là:
$x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \alpha + k\pi ,k \in Z$
Phương trình $\cot x = \cot {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$Page 2
SureLRN
Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.
Các dạng phương trình lượng giác
Phương trình sinx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\].
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình cosx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] .
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình tanx = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k \epsilon \mathbb{Z}]\]
Hoặc \[\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\], \[\tan x\] không xác định khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi\]
Phương trình cot[x] = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k\epsilon \mathbb{Z}]\] Hoặc \[\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\],
\[\csc x\] không xác định khi \[x = k\pi\]
Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:
Phương trình lượng giác chứa tham số
Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \[a\sin x + b \cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\]
Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:
- Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
- Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm
Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản
- Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
- Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Ví dụ: Xác định m để phương trình \[[m^{2} – 3m + 2]\cos ^{2}x = m[m-1]\] [1] có nghiệm.
Cách giải
\[[1]\Leftrightarrow [m-1][m-2]\cos ^{2}x = m [m-1]\] [1’]
Khi m = 1: [1] luôn đúng với mọi \[x\epsilon \mathbb{R}\]
Khi m = 2: [1] vô nghiệm
Khi \[m\neq 1; m\neq 2\] thì:
[1’] \[\Leftrightarrow [m-2]\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\] [2]
Khi đó [2] có nghiệm \[\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\]
Vậy [1] có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \[m\leq 0\]
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát
Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g[x,m] = 0 [1]. Xác định m để phương trình [1] có nghiệm \[x\epsilon D\]
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ t = h[x] trong đó h[x] là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình [1]
- Tìm miền giá trị [điều kiện] của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
- Đưa phương trình [1] về phương trình f[m,t] = 0
- Tính f’[m, t] và lập bảng biến thiên trên miền D1
- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: www.youtube.com]
Please follow and like us: