Đề bài
Cho đường tròn [O] có hai bán kính vuông góc với OA và OB. Vẽ điểm C trên cung lớn AB sao cho \[\dfrac{{sd\,cung\,AC}}{{sd\,cung\,BC}} = \dfrac{4}{5}\]. Tính các góc của tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Đặt \[sd\,cung\,AC = 4x \Rightarrow sd\,cung\,BC = 5x\].
+] Mà \[sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BC = {360^0} \Rightarrow \] Tính số đo cung AC và BC.
+] Sử dụng tính chất tam giác OAB, OBC, OCA cân, tính các góc ở đáy của các tam giác cân đó.
+] Sử dụng tính chất cộng góc tính số đo các góc của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
Đặt \[sd\,cung\,AC = 4x \Rightarrow sd\,cung\,BC = 5x\].
Mà \[sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BC = {270^0} \]
\[\Rightarrow 4x + 5x = {270^0}\]
\[\Leftrightarrow 9x = {270^0} \] \[\Leftrightarrow x = {30^0}\]
\[ \Rightarrow sd\,cung\,AC = {120^0} \Rightarrow sd\,cung\,BC = {160^0}\].
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0};\,\,\widehat {AOC} = {120^0};\,\,\widehat {BOC} = {150^0}\] [số đo góc ở tâm bằng số đo góc nội tiếp của cung bị chắn].
Tam giác OAB cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}\] [hai góc ở đáy].
Mà \[\widehat {AOB} + \widehat {AOB} + \widehat {OBA} = {180^0} \] \[\Rightarrow \widehat {OAB} + \widehat {OBA} = {180^0} - \widehat {AOB}\] \[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AOB}}}{2} = {45^0}\]
Chứng minh tương tự ta có:
Tam giác \[OAC\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\].
Tam giác \[OBC\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{150}^0}}}{2} = {15^0}\]
Vậy tam giác ABC có:
\[\begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = {45^0} + {30^0} = {75^0}\\\widehat {ABC} = \widehat {OBA} + \widehat {OBC} = {45^0} + {15^0} = {60^0}\\\widehat {ACB} = \widehat {OCA} + \widehat {OCB} = {30^0} + {15^0} = {45^0}\end{array}\]