Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,\] các đường trung tuyến \[BM,\, CN\] cắt nhau tại \[G.\] Gọi \[D\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[M,\] gọi \[E\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[N.\] Tứ giác \[BEDC\] là hình gì ? Vì sao ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
+] Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
+] Tính chất đường trung tuyến: Cho\[ ABC\], có \[M\] là trung điểm \[BC\], trọng tâm \[G,\] ta có \[AG=2GM\]
Lời giải chi tiết
* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G
Suy ra: \[G\] là trọng tâm của \[ ABC\]
\[ GB = 2GM\] [tính chất đường trung tuyến]
\[GC = 2GN\] [tính chất đường trung tuyến]
Điểm \[D\] đối xứng với điểm \[G\] qua điểm \[M\]
\[ MG = MD\] hay \[GD = 2 GM\]
Suy ra: \[GD = GB\] [1]
Điểm \[E\] đối xứng với điểm \[G\] qua điểm \[N\]
\[ NG = NE\] hay \[GE = 2 GN\]
Suy ra: \[GC = GE\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác \[BCDE\] là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
Xét \[ BCM\] và \[ CBN:\]
\[BC\] cạnh chung
\[\widehat {BCM} = \widehat {CBN}\] [tính chất tam giác cân ABC]
\[CM = BN\] [ vì \[AB = AC\]]
Do đó: \[ BCM = CBN\, [c.g.c]\]
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat C_1}\] \[ GBC\] cân tại \[G\] \[ GB = GC BD = CE\]
Hình bình hành \[BCDE\] có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.