Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[[O]\]. Trên đường chéo \[BD\] lấy điểm \[E\] sao cho\[\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\]. Chứng minh:
a] \[\,\Delta ADE \backsim \Delta ACB,\]\[\,\Delta ABE \backsim \Delta ACD;\]
b] \[\,AD.BC + AB.CD = AC.BD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Các góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] Xét\[\,\Delta ADE \] và \[ \Delta ACB\] có:
\[ \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[AB\]]
\[\widehat {DAE} = \widehat {CAB}\] [gt]
\[ \Rightarrow \,\Delta ADE \backsim \Delta ACB\] [g.g]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE}\\
\widehat {CAD} = \widehat {DAE} + \widehat {CAE}
\end{array}\]
Mà\[\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\] [gt] nên\[\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\]
Xét \[\Delta ABE \] và \[ \Delta ACD\] có:
\[\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\] [chứng minh trên]
\[\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[AD\]]
\[ \Rightarrow\,\Delta ABE \backsim \Delta ACD\] [g.g].
b] Vì \[\Delta ADE \backsim \Delta ACB\] [câu a] suy ra \[\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{CB}}\]
\[\Rightarrow AD.CB = AC.DE\] [1]
Vì \[\Delta ABE \backsim \Delta ACD\] [câu a] suy ra \[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CD}}\]
\[\Rightarrow AB.CD = AC.BE\] [2]
Từ [1] và [2] ta có:
\[AD.CB + AB.CD\]\[\, = AC.DE + AC.BE\]\[\, = AC.\left[ {DE + BE} \right] = AC.BD.\]
Vậy\[\,AD.BC + AB.CD = AC.BD.\]