Đề bài
Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc \[\alpha = \widehat {DAB} = \widehat {CBA}\] sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó [h.1.1]
Lời giải chi tiết
Dựng \[AH \bot CD\].
Đặt \[x = \widehat {ADC,}0 < x < {\pi \over 2}\] , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx.
Diện tích hình thang là
\[S = {{AB + CD} \over 2}AH \]
\[= [1 + \cos x]\sin x\]
với \[0 < x < {\pi \over 2}\]
Bài toán quy về: Tìm \[x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\] sao cho tại điểm đó S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
\[\begin{array}{l}S'\left[ x \right] = - {\sin ^2}x + \left[ {1 + \cos x} \right]\cos x\\ = {\cos ^2}x - 1 + \cos x + {\cos ^2}x\\ = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\\ = \left[ {\cos x + 1} \right]\left[ {2\cos x - 1} \right]\\S'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\]
Mà \[x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] nên \[x = \frac{\pi }{3}\].
BBT:
Hình thang có diện tích lớn nhất khi \[\alpha = {{2\pi } \over 3}\] .
Khi đó diện tích hình thang là \[S = {{3\sqrt 3 } \over 4}[{m^2}]\]