Đề bài
Cho hai đoạn thẳng \[AB\] và \[CD\] chéo nhau, \[AC\] là đường vuông góc chung của chúng. Biết rằng \[AC = h, AB = a, CD = b\] và góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\] bằng \[{60^0}\]. Hãy tính thể tích của khối tứ diện \[ABCD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng hình hình bình hành \[CDBE\] và \[ABDF\].
- Tính thể tích tứ diện \[ABCE\] rồi suy ra thể tích khối tứ diện \[ABCD\].
Lời giải chi tiết
Dựng hình hình bình hành \[CDBE\] và \[ABDF\].
Khi đó, \[ABE.FDC\] là hình lăng trụ.
Ta có: \[AC \bot CD,CD//BE\] \[ \Rightarrow AC \bot BE\], mà \[AC \bot AB\] nên \[AC \bot \left[ {ABE} \right]\].
Lại có \[\widehat {\left[ {AB,CD} \right]} = \widehat {\left[ {AB,BE} \right]}\] \[ = \widehat {ABE} = {60^0}\]
\[ \Rightarrow {S_{ABE}} = \dfrac{1}{2}AB.BE.\sin \widehat {ABE}\]\[ = \dfrac{1}{2}ab.\sin {60^0} = \dfrac{{ab\sqrt 3 }}{4}\]
\[ \Rightarrow {V_{C.ABE}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABE}}.AC\]\[ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ab\sqrt 3 }}{4}.h = \dfrac{{abh\sqrt 3 }}{{12}}\]
Từ đó suy ra \[{V_{A.BCD}} = {V_{A.BCE}} = \dfrac{{abh\sqrt 3 }}{{12}}\].