Biết rằng các số đo rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình\[\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0.\]Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Đề bài
Biết rằng các số đo rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình\[\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0.\]Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Xét phương trình \[\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\] [1]
Điều kiện:\[x\in\left[ {0;\pi } \right]\]
Đặt \[t = \tan {x \over 2}\] ta được:
\[{{2t} \over {1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} - t - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\]
Phương trình có nghiệm \[t = {1 \over {\sqrt 3 }}\]
Do đó: \[\tan {x \over 2} = {1 \over {\sqrt 3 }}\]
Phương trình [1] trên khoảng \[\left[ {0;\pi } \right]\] có một nghiệm duy nhất \[x = {\pi \over 3}\]
Do đóABC là tam giác đều.