Đề bài
Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.
Lời giải chi tiết
Trước hết, F không thể biến hai điểm phân biệt thành chính nó vì khi đó đường thẳng đi qua hai điểm đó phải biến thành chính nó, trái với giả thiết là F biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc.
Để chứng minh sự tồn tại của điểm biến thành chính nó, ta đã lấy một điểm A nào đó và gọi \[{A_1} = F\left[ A \right],\,{A_2} = F\left[ {{A_1}} \right]\].
Nếu A trùng \[{A_1}\] thì A là điểm biến thành chính nó, bởi vậy ta giả sử rằng A khác \[{A_1}\].
Khi đó \[{A_2}\] khác \[{A_1}\] và đường thẳng \[{A_1}{A_2}\] vuông góc với đường thẳng \[A{A_1}\].
Đường thẳng của \[A{A_2}\] là đường thẳng d qua \[{A_1}\],vuông góc với \[A{A_2}\].
Đường thẳng \[{A_1}{A_2}\] là đường thẳng d qua \[{A_2}\],vuông góc với \[{A_1}{A_2}\].
Vậy F biến \[{A_2}\] thành giao điểm \[{A_3}\] của d và d.
Vì F là phép dời hình nên \[A{A_1}{A_2}{A_3}\] là hình vuông.
Trung điểm I của \[A{A_2}\] biến thành trung điểm của \[{A_1}{A_3}\],tức là I biến thành chính nó qua F.
Vậy F có duy nhất điểm I biến thành chính nó.