Đề bài
Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a. Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giáccó một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
- Tính chất về các cạnh và đường chéo của hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a] Xét tứ giác DEBF: AB // CD [vì ABCD là hình bình hành] hay DF // EB
EB = \[\displaystyle {1 \over 2}\]AB [do E là trung điểm của AB]
DF = \[\displaystyle{1 \over 2}\]CD[do F là trung điểm của DC]
Mà AB=CD [do ABCD là hình bình hành]
Suy ra: EB = DF
Vậy tứ giác DEBF là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
b] Gọi O là giao điểm của AC và BD
OB = OD [tính chất hình bình hành ABCD]
Vì tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD
Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn
c. VìDEBF là hình bình hành nên DE//BF
Suy ra\[\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\] [so le trong]
Xét EOM và FON:
\[\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\] [chứng minh trên]
OE = OF [tính chất hình bình hành DEBF]
\[\widehat {MOE} = \widehat {NOF}\] [đối đỉnh]
Do đó : \[ EOM = FON [g.c.g]\]\[ OM = ON\]
Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]