Đề bài
Giải phương trình x2+ [4m + 1]x + 2[m - 4] = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm ĐK để pt có hai nghiệm.
- Bình phương hệ thức bài cho biến đổi đưa về áp dụng Viet tìm m.
Lời giải chi tiết
Ta có:
Δ = [4m + 1]2 8[ m 4]
\[= 16{m^2} + 8m + 1 - 8m + 32\]
= 16m2+ 33 > 0; m
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1+ x2= - 4m 1; x1x2= 2[m 4] [x1> x2]
Ta có:
x1 x2= 17 [x1 x2]2= 289
[x1+ x2]2 4x1x2= 289
[4m + 1]2 8[m 4] = 289
16m2+ 33 = 289
m = ± 4
+] Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:
\[\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \]
+] Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:
\[\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \]
Cách khác:
Với mọi m,phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = \frac{{ - 4m - 1 \pm \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2}\]
Hiệu hai nghiệm bằng 17 nên:
\[\begin{array}{l}
\frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} - \frac{{ - 4m - 1 - \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} + 4m + 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 33} = 17\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 33 = 289\\
\Leftrightarrow 16{m^2} = 256\\
\Leftrightarrow m = \pm 4
\end{array}\]