Đề bài
Từ điểm A ngoài đường tròn [O ; R] sao cho OA = 2R vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn [B là tiếp điểm].
a] Tính theo R độ dài AB.
b] Đường cao BH của tam giác ABO kéo dài cắt đường tròn [O] tại C. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn [O].
c] Gọi E là giao điểm của OA với đường tròn [O] [ E nằm giữa O và A]. Chứng minh rằng E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng định lí Pytago.
b] Chứng minh \[\angle OCA = {90^0} \Rightarrow AC \bot OC\].
c] Chứng minh \[\Delta ABC\] đều và chứng minh \[E\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
Lời giải chi tiết
a] Do \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right] \Rightarrow AB \bot OB\] tại \[B \Rightarrow \Delta OAB\] vuông tại \[B\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[OAB\] ta có:
\[O{B^2} = A{B^2} - O{A^2} = {\left[ {2R} \right]^2} - {R^2} = 3{R^2}\]
\[\Rightarrow OB = R\sqrt 3 \].
b] Vì \[OA \bot BC\] tại \[H \Rightarrow H\] là trung điểm của \[BC\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
\[ \Rightarrow OA\] là trung trực của \[BC\].
\[A \in OA \Rightarrow AB = AC \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB\].
\[O \in OA \Rightarrow OB = OC \Rightarrow \Delta OBC\] cân tại \[O \Rightarrow \angle OBC = \angle OCB\]
\[ \Rightarrow \angle ABC + \angle OBC = \angle ACB + \angle OCB \]
\[\Rightarrow \angle OCA = \angle OBA = {90^0}\]
\[ \Rightarrow AC \bot OC\] tại \[C\]. Mà \[OC\] là bán kính của \[\left[ {O;R} \right]\].
Vậy \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left[ {O;R} \right]\].
c] Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OAB\] ta có:
\[\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}} + \dfrac{1}{{3{R^2}}} = \dfrac{4}{{3{R^2}}}\]
\[\Rightarrow BH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\]
\[ \Rightarrow BC = 2BH = R\sqrt 3 = AB = AC\] \[ \Rightarrow \Delta ABC\] đều.
Ta có: \[A{B^2} = AH.OA\] \[ \Rightarrow AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{OA}} = \dfrac{{3{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{{3R}}{2}\].
\[AE = OA - OE = 2R - R = R\] \[ \Rightarrow AE = \dfrac{2}{3}AH\], mà \[AH\] là trung tuyến của \[\Delta ABC \Rightarrow E\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] .
Lại có \[\Delta ABC\] đều \[ \Rightarrow \] Trọng tâm \[E\] đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].