Đề bài
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác \[ABC\]. Giả sử \[BC\] là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc \[AH\] đến đường thẳng \[BC\] [\[H \in BC\]].
a] Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở bài 1 để chứng minh \[AB + AC > BC.\]
b] Từ giả thiết về cạnh \[BC\], hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng nhận xéttrong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a] \[ABC\] có cạnh \[BC\] lớn nhất nên chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] phải nằm giữa \[B\] và \[C\]
Hay \[H\] nằm giữa \[B\] và \[C\] \[\Rightarrow HB + HC = BC\]
Trong \[AHC\] vuông tại \[H\] ta có: \[HC < AC\] [1] [trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất]
Trong \[AHB\] vuông tại \[H\] ta có: \[HB < AB\] [2][trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất]
Cộng theo vế hai bất đẳng thức [1], [2] ta có:
\[HB + HC < AC + AB\]
Vì \[HB + HC = BC\] nên \[BC < AC + AB.\]
b] \[BC\] là cạnh lớn nhất nên suy ra \[AB < BC\] và \[AC < BC\]
Vì \[AB, AC > 0\] nên ta có: \[AB < BC + AC; AC < BC + AB\]