Đề bài
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \[a\]. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm \[B, C, D, A', B', D'\] đến đường chéo \[AC'\] đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Xác định và tính khoảng cách từ điểm \[B\] đến \[AC'\] bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
+] Chứng minh các tam giác bằng nhau và suy ra các đường cao tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[B\] trên \[AC'\].
Ta có\[AB \, \bot \,\left[ {BCC'B'} \right] \Rightarrow AB\, \bot \,BC' \Rightarrow \Delta ABC'\] vuông tại B.
Dễ thấy \[BC'\] là đường chéo của hình vuông cạnh\[a \Rightarrow BC' = a\sqrt 2 .\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC'\] có:
\[\dfrac{1}{BK^{2}}=\dfrac{1}{BA^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}\] \[=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{[a\sqrt{2}]^{2}}=\dfrac{3}{2a^{2}}\]\[ \Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\]
Ta có:
\[\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC' \]\[= \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A\]
\[[c.g.c]\]
Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.
Vậy khoảng cách từ \[B, C, D, A', B', D'\] tới \[AC'\] đều bằng \[ \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\].