Đề bài
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng điều kiện \[MP \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\].
Xen điểm thích hợp, biến đổi biểu thức tích vô hướng \[\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = [\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} ][\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ]\]
=\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \]
=\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \].
Do đó \[\overrightarrow {MP} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \]