Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Các tia phân giác của các góc \[B\] và \[C\] cắt nhau ở \[I.\] Qua \[I\] kẻ đường thẳng song song với \[BC.\] Gọi giao điểm của đường thẳng này với \[AB, AC\] theo thứ tự là \[D, E.\] Chứng minh rằng \[ DE = BD + CE.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[DI // BC\] [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\][hai góc so le trong] [1]
Lại có: \[{\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\] [vì \[BI\] là tia phân giác của \[\widehat B\]] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\]
\[ \Rightarrow BDI\] cân tại \[D\]\[ \Rightarrow BD = DI \] [3]
Vì \[IE // BC\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\][hai góc so le trong] [4]
Lại có: \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\][vì \[CI\] là tia phân giác của \[\widehat {{C}}\]] [5]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\]
\[ \Rightarrow CEI\] cân tại \[E\] \[ \Rightarrow CE = EI\] [6]
Từ [3] và [6] suy ra: \[BD + CE = DI + EI = DE.\]