Đề bài
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ C \right]\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\] biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ \[O\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhận xét: Gốc tọa độ \[O\] thuộc đường tròn nên tiếp tuyến đi qua \[O\] và nhận \[\overrightarrow {OI} \] làm VTPT.
Lời giải chi tiết
Đường tròn \[\left[ C \right]\]: \[{x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\] có tâm \[I[4;3]\] và bán kính \[R = 5\].
Cách 1: Do tọa độ \[O[0;0]\] thỏa mãn phương trình của \[\left[ C \right]\] nên điểm \[O\] nằm trên \[\left[ C \right]\].
Tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\] tại \[O\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \overrightarrow {OI} = [4;3]\].
Suy ra \[\Delta \] có phương trình \[4x + 3y = 0.\]
Cách 2: Xét đường thẳng \[\Delta \] đi qua gốc tọa độ \[O \] và có hệ số góc \[k\], \[\Delta \] có phương trình \[y - kx = 0\].
Ta có: \[\Delta \] tiếp xúc với \[\left[ C \right]\]\[ \Leftrightarrow d[I,\Delta ] = R\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3 - 4k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {3 - 4k} \right]^2} = 25[{k^2} + 1]\]
\[ \Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25\]\[ \Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\]\[ \Leftrightarrow k = - \dfrac{4}{3}.\]
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: \[y + \dfrac{4}{3}x = 0\] hay \[4x + 3y = 0\].
Trường hợp \[\Delta \] không có hệ số góc \[\left[ {\Delta \bot Ox} \right]\] có phương trình dạng \[x + c = 0\].
\[O\left[ {0;0} \right] \in \Delta \] \[ \Rightarrow 0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\] ta được đường thẳng \[x = 0\].
Dễ thấy \[d\left[ {I,\Delta } \right] = 4 \ne 5 = R\] nên \[\Delta \] không tiếp xúc với \[\left[ C \right]\].
Vậy trường này không thỏa mãn nên chí có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm là \[4x + 3y = 0\].