Đề bài
\[\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left[ {1 + {x^2} + {x^4}} \right]}}{{1 + {x^2}}}dx} \] bằng
A. \[\displaystyle 0\] B. \[\displaystyle 1\]
C. \[\displaystyle - 1\] D. \[\displaystyle 2\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tách tích phân đã cho thành các tích phân dễ tính hơn.
Lời giải chi tiết
\[\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left[ {1 + {x^2} + {x^4}} \right]}}{{1 + {x^2}}}dx} \]\[\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left[ {{x^3} + \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right]dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx} + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \] \[\displaystyle = I + J\]
Ta có: \[\displaystyle I = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx} \]\[\displaystyle = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right] = 0\]
Tính \[\displaystyle J = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \]\[\displaystyle = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{d\left[ {{x^2} + 1} \right]}}{{{x^2} + 1}}} = \left. {\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0\]
Vậy \[\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left[ {1 + {x^2} + {x^4}} \right]}}{{1 + {x^2}}}dx} = I + J = 0\].
Chọn A.
Chú ý:
Có thể chứng minh hàm số \[\displaystyle f\left[ x \right] = \frac{{x\left[ {1 + {x^2} + {x^4}} \right]}}{{1 + {x^2}}}\] là hàm số lẻ trên \[\displaystyle \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\] và sử dụng lý thuyết \[\displaystyle \int\limits_{ - a}^a {f\left[ x \right]dx} = 0\] nếu hàm số \[\displaystyle f\left[ x \right]\] lẻ trên \[\displaystyle \left[ { - a;a} \right]\].