- 5.70
- 5.71
- 5.72
- 5.73
- 5.74
- 5.75
- 5.76
- 5.77
- 5.78
- 5.79
- 5.80
- 5.81
Chọn đáp án đúng:
5.70
Tìm đạo hàm của hàm số\[y = \dfrac{{\sin {x^2}}}{x}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left[ {\sin {x^2}} \right]'.x - \sin {x^2}.\left[ x \right]'}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{\left[ {{x^2}} \right]'\cos {x^2}.x - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{2x\cos {x^2}.x - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\end{array}\]
Chọn đáp án:A
5.71
Cho hàm số\[y = \cos \dfrac{x}{{x + 1}}\]. Tìm y'
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right]'\left[ { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right]\\ = \dfrac{{\left[ x \right]'\left[ {x + 1} \right] - x\left[ {x + 1} \right]'}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\left[ { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right]\\ = \dfrac{{x + 1 - x}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\left[ { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right]\\ = \dfrac{{ - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\end{array}\]
Chọn đáp án:C
5.72
Tìm đạo hàm của hàm số y = tan2 x cot x2
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = 2\tan x\left[ {\tan x} \right]' - \left[ {{x^2}} \right]'.\left[ { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}{x^2}}}} \right]\\ = 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\\ = 2.\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\end{array}\]
Chọn đáp án:D
5.73
Cho\[f\left[ t \right] = \dfrac{{\cos t}}{{1 - \sin t}}\]. Tính f'[π/6]
A. -2 B. -3 C. 2 D. 5
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}f'\left[ t \right]\\ = \dfrac{{\left[ {\cos t} \right]'\left[ {1 - \sin t} \right] - \cos t.\left[ {1 - \sin t} \right]'}}{{{{\left[ {1 - \sin t} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t\left[ {1 - \sin t} \right] - \cos t\left[ { - \cos t} \right]}}{{{{\left[ {1 - \sin t} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t + {{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t}}{{{{\left[ {1 - \sin t} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t + 1}}{{{{\left[ {1 - \sin t} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{1 - \sin t}}\\ \Rightarrow f'\left[ {\dfrac{\pi }{6}} \right] = \dfrac{1}{{1 - \sin \dfrac{\pi }{6}}}\\ = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2\end{array}\]
Chọn đáp án:C
5.74
Tìm đạo hàm của hàm số y = [3 - sinx]3
A. 3[3 - sinx]
B. -3[3 - sinx]2cosx
C. -3[3 - sinx].cosx
D. -3[3 - sinx].cos2x
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = 3{\left[ {3 - \sin x} \right]^2}\left[ {3 - \sin x} \right]'\\ = 3{\left[ {3 - \sin x} \right]^2}\left[ {0 - \cos x} \right]\\ = - 3{\left[ {3 - \sin x} \right]^2}\cos x\end{array}\]
Chọn đáp án:B
5.75
Cho\[f\left[ x \right] = \sqrt {1 + 2\tan x} \]. Tính f'[π/4]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = \dfrac{{\left[ {1 + 2\tan x} \right]'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{{2.\left[ {\tan x} \right]'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ \Rightarrow f'\left[ {\dfrac{\pi }{4}} \right] = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{4}\sqrt {1 + 2\tan \dfrac{\pi }{4}} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]}^2}.\sqrt {1 + 2.1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\]
Chọn đáp án:D
5.76
Tìm đạo hàm của\[g\left[ \varphi \right] = \dfrac{{\cos \varphi + \sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}g'\left[ \varphi \right]\\ = \dfrac{{\left[ {\cos \varphi + \sin \varphi } \right]'\left[ {1 - \cos \varphi } \right] - \left[ {\cos \varphi + \sin \varphi } \right]\left[ {1 - \cos \varphi } \right]'}}{{{{\left[ {1 - \cos \varphi } \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{\left[ { - \sin \varphi + \cos \varphi } \right]\left[ {1 - \cos \varphi } \right] - \left[ {\cos \varphi + \sin \varphi } \right]\left[ { - \left[ { - \sin \varphi } \right]} \right]}}{{{{\left[ {1 - \cos \varphi } \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi + \sin \varphi \cos \varphi - {{\cos }^2}\varphi - \cos \varphi \sin \varphi - {{\sin }^2}\varphi }}{{{{\left[ {1 - \cos \varphi } \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - \left[ {{{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^2}\varphi } \right]}}{{{{\left[ {1 - \cos \varphi } \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{\cos \varphi - \sin \varphi - 1}}{{{{\left[ {1 - \cos \varphi } \right]}^2}}}\end{array}\]
Chọn đáp án:A
5.77
Cho\[y = \cot \sqrt {1 + {x^2}} \]. Tính y'[1]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\sqrt {1 + {x^2}} } \right]'.\left[ { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]\\ = \dfrac{{\left[ {1 + {x^2}} \right]'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}.\left[ { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]\\ = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}.\left[ { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]\\ = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} .{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ \Rightarrow y'\left[ 1 \right] = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 2 }}\end{array}\]
Chọn đáp án:B
5.78
Cho f[x] = 5x2- 16x + 7. Tính f'[4]; f'[1/4]
A. 36; -27/2
B. -36; 27/2
C. 1; 35
D. 36; -2
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = 5.2x - 16.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\\ = 10x - \dfrac{8}{{\sqrt x }}\\ \Rightarrow f'\left[ 4 \right] = 10.4 - \dfrac{8}{{\sqrt 4 }} = 36\\f'\left[ {\dfrac{1}{4}} \right] = 10.\dfrac{1}{4} - \dfrac{8}{{\sqrt {\dfrac{1}{4}} }} = - \dfrac{{27}}{2}\end{array}\]
Chọn đáp án:A
5.79
Cho g[x] = x2sin[x - 2]. Tính g'[2].
A. -2 B. 4 C. 2 D. 1
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
g'\left[ x \right] = \left[ {{x^2}} \right]'\sin \left[ {x - 2} \right]\\
+ {x^2}\left[ {\sin \left[ {x - 2} \right]} \right]'\\
= 2x\sin \left[ {x - 2} \right] + {x^2}.\cos \left[ {x - 2} \right]\\
\Rightarrow g'\left[ 2 \right] = 2.2\sin 0 + {2^2}\cos 0\\
= 0 + 4.1 = 4
\end{array}\]
Chọn đáp án:B
5.80
Tìm đạo hàm của hàm số\[y = \tan \dfrac{x}{2} - \cot \dfrac{x}{2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\dfrac{x}{2}} \right]'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} - \left[ {\dfrac{x}{2}} \right]'.\left[ { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}} \right]\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}} \right]\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}.{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{2}{{4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}.{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{2}{{{{\left[ {2\cos \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{x}{2}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{2}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}\]
Chọn đáp án:D
5.81
Giải phương trình f'[x] = g[x], biết
g[x] = sinx và f[x] = [2 - x2]cosx + 2x.sinx.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right]\\ = \left[ {2 - {x^2}} \right]'\cos x + \left[ {2 - {x^2}} \right]\left[ {\cos x} \right]'\\ + 2\left[ {\left[ x \right]'\sin x + x\left[ {\sin x} \right]'} \right]\\ = - 2x\cos x + \left[ {2 - {x^2}} \right]\left[ { - \sin x} \right]\\ + 2\left[ {\sin x + x\cos x} \right]\\ = - 2x\cos x - 2\sin x + {x^2}\sin x\\ + 2\sin x + 2x\cos x\\ = {x^2}\sin x\\ \Rightarrow f'\left[ x \right] = {x^2}\sin x\\f'\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\ \Leftrightarrow {x^2}\sin x = \sin x\\ \Leftrightarrow {x^2}\sin x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 1} \right]\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn đáp án:C