Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chọn hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm cần thiết.
- Viết phương trình mặt phẳng chứa \[{C_1}N\] và song song \[MP\].
- Tính khoảng cách giữa \[MP\] với mặt phẳng vừa viết và kết luận.
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \[\cos \left[ {MP,{C_1}N} \right] = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MP} } \right|.\left| {\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}\]
Lời giải chi tiết
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B1 là gốc tọa độ, \[\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B} = \overrightarrow k \].
Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1[0; 0; 0], B[0; 0; 1], A1[1; 0; 0], D1[1; 1; 0], C[0; 1; 1], D[1; 1; 1], C1[0; 1; 0].
Suy ra \[M\left[ {0;0;\dfrac{1}{2}} \right],P\left[ {1;\dfrac{1}{2};0} \right],N\left[ {\dfrac{1}{2};1;1} \right]\]
Ta có \[\overrightarrow {MP} = \left[ {1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right];\]\[\overrightarrow {{C_1}N} = \left[ {\dfrac{1}{2};0;1} \right]\]
Gọi \[[\alpha ]\] là mặt phẳng chứa \[C_1N\] và song song với MP.
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {{C_1}N} } \right] = \left[ {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{5}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right]\] hay chọn \[\overrightarrow n = [2; - 5; - 1]\] là VTPT của \[[\alpha]\]
Phương trình của \[[\alpha ]\] là \[2x 5[y 1] z = 0 \] hay \[2x 5y z + 5 = 0\]
Ta có \[d[MP,{C_1}N] = d[M,[\alpha ]] \] \[= \dfrac{{| - \dfrac{1}{2} + 5|}}{{\sqrt {25 + 4 + 1} }} = \dfrac{9}{{2\sqrt {30} }}\]
Ta có: \[\cos [{MP,{C_1}N}] = \dfrac{{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |}}{{|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\]. Vậy \[[\widehat {MP,{C_1}N}] = {90^0}\]