Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho điểm C[2;0] và elip [E] : \[\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\]. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc [E], biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[A\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\], lập hệ phương trình ẩn \[{x_0},{y_0}\].
- Giải hệ phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[A\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\]. Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \[B[{x_0}; - {y_0}]\]
Ta có : \[A{B^2} = 4y_0^2\]và \[A{C^2} = {\left[ {{x_0} - 2} \right]^2} + y_0^2.\]
Vì \[A \in [E]\]nên \[\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}\,\,\,[1]\]
Vì AB = AC nên \[{\left[ {{x_0} - 2} \right]^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\]
Thay [1] vào [2] ta được:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {{x_0} - 2} \right]^2} - 3y_0^2 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {{x_0} - 2} \right]^2} - 3\left[ {1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}} \right] = 0\\
\Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 4 - 3 + \dfrac{{3x_0^2}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{7x_0^2}}{4} - 4{x_0} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = \dfrac{2}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Với \[{x_0} = 2\]thay vào [1] ta có \[{y_0} = 0.\]
Trường hợp này loại vì \[A \equiv C.\]
Với \[{x_0} = \dfrac{2}{7}\]thay vào [1] ta có \[{y_0} = \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}.\]
Vậy \[A\left[ {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right],B\left[ {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right]\]hoặc \[A\left[ {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right],B\left[ {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right]\].