Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB = 2R\], \[Ax\] và \[By\] là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \[A\] và \[B\]. Lấy trên tia \[Ax\] điểm \[M\] rồi vẽ tiếp tuyến \[MP\] cắt \[By\] tại \[N\].
a] Chứng minh rằng \[MON\] và \[APB\] là hai tam giác vuông đồng dạng.
b] Chứng minh rằng \[AM.BN = R^2\]
c] Tính tỉ số\[\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\]khi \[AM\] =\[\dfrac{R}{2}.\]
d] Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \[APB\] quay quanh \[AB\] sinh ra.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp
b] Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông
c] Sử dụng: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
d] Thể tích hình cầu bán kính \[R\] là \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\]
Lời giải chi tiết
a] + Xét nửa đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[MA,MP\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[M\] nên \[OM\] là phân giác \[\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\] [1]
Tương tự ta có \[NB,NP\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[N\] nên \[ON\] là phân giác \[\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\] [2] và
\[\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \]
Mà \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] ta có \[\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \]
Hay \[\widehat {MON} = 90^\circ \]
+ Lại có \[\widehat {APB} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
+ Xét tứ giác \[OPNB\] có \[\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \] nên \[\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \[OPNB\] là tứ giác nội tiếp, suy ra \[\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\] [cùng nhìn cạnh \[PO\]]
Xét \[\Delta MON\] và \[\Delta APB\] có \[\widehat {MON} = \widehat {APB}\left[ { = 90^\circ } \right]\] và \[\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left[ {cmt} \right]\] nên \[\Delta APB \backsim \Delta MON\left[ {g - g} \right]\] [đpcm]
b] + Xét nửa đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[MA,MP\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[M\] và \[NB,NP\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[N\] nên \[MA = MP;NP = NB\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
+ Xét tam giác \[MON\] vuông tại \[O\] có \[OP \bot MN\] [do \[MN\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\]] nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \[O{P^2} = MP.PN\]
Mà \[MA = MP;NP = NB\] [cmt] và \[OP = R\] nên \[O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\] [đpcm]
c] Vì \[AM = \dfrac{R}{2}\] mà \[AM.BN = {R^2}\] [câu b] nên \[BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\]
Suy ra \[MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\]
Vì \[\Delta MON \sim \Delta APB\] [câu a] nên tỉ số đồng dạng là \[k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\]
Suy ra tỉ số diện tích \[\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left[ {\dfrac{5}{4}} \right]^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\] [tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng]
d] Nửa hình tròn \[APB\] quay sinh ra hình cầu bán kính \[R\] nên thể tích hình cầu là \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\]