Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A, AH\] là đường cao kẻ từ \[A\]. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác \[HBA\] thành tam giác \[ABC\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình:
- Phép đối xứng qua đường thẳng d, với d là phân giác của góc B.
- Phép vị tự tâm B, tỉ số AC/AH.
Lời giải chi tiết
Gọi \[d\] là đường phân giác của \[ \widehat{B}\].
Gọi \[A' = {D_d}\left[ H \right],C' = {D_d}\left[ A \right]\].
Dễ thấy \[A'\in AB, C'\in BC\].
Ta có \[{D_{d}}\] biến \[HBA\] thành \[A'BC'\].
Suy ra\[HBA\]=\[A'BC'\] nên góc \[A'=H=90^0\]
\[\Rightarrow C'A'//CA\]
Theo định lý Ta-let có\[\frac{{BA}}{{BA'}} = \frac{{BC}}{{BC'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{AC}}{{AH}}=k\]
\[\Rightarrow \overrightarrow {BA}=k\overrightarrow {BA'}\]\[\Rightarrow{V_{\left[ {B;k} \right]}}\left[ {A'} \right] = A\]
\[\overrightarrow {BC}=k\overrightarrow {BC'}\]\[\Rightarrow {V_{\left[ {B;k} \right]}}\left[ {C'} \right] = C\]
Mà \[{V_{\left[ {B;k} \right]}}\left[ B \right] = B\] nên \[{V_{\left[ {B;k} \right]}}\left[ {\Delta A'BC'} \right] = \Delta ABC\].
Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp \[{D_{d}}\] và \[{V_{[B,k]}}\]sẽ biến \[ \bigtriangleup\]\[HBA\] thành \[ \bigtriangleup\]\[ABC\]